热门试卷

（1）证明：设直线l方程为y=k（x+p），代入y2=4px．

得k2x2+（2k2p-4p）x+k2p2=0．

△=4（k2p-2p）2-4k2•k2p2＞0，

得0＜k2＜1．

令A（x1，y1）、B（x2，y2），则x1+x2=-，y1+y2=k（x1+x2+2p）=，

AB中点坐标为（，）．

AB垂直平分线为y-=-（x-）．

令y=0，得x0==p+．

由上可知0＜k2＜1，∴x0＞p+2p=3p．

∴x0＞3p．

（2）∵l的斜率依次为p，p2，p3，时，AB中垂线与x轴交点依次为N1，N2，N3，（0＜p＜1）．

∴点Nn的坐标为（p+，0）．

|NnNn+1|=|（p+）-（p+）|=，=，

所求的值为[p3+p4++p21]=．

（Ⅰ）设P（x1，y1），Q（x2，y2），M（x1，-y1）

∵=λ

∴x1+1=λ（x2+1），y1=λy2，∴y12=λ2y22，y12=4x1，y22=4x2，x1=λ2x2

∴λ2x2+1=λ（x2+1），λx2（λ-1）=（λ-1）

∵λ≠1，∴x2=，x1=λ，

由抛物线C：y2=4x，得到F（1，0），

∴=（1-x1，y1）=（1-λ，λy2）=λ（-1，y2）=λ，

∴直线MQ经过抛物线C的焦点F；

（Ⅱ）由（Ⅰ）知x2=，x1=λ，得x1x2=1，y12-y22=16x1x2=16，y1y2＞0，y1y2=4，

则|PQ|2=（x1-x2）2+（y1-y2）2=x12+x22+y12+y22-2（x1x2+y1y2）=（λ+）2+4（λ+）-12=（λ++2）2-16

λ∈[，]，λ+∈[，]，

当λ+=，即λ=时，|PQ|2有最大值，则|PQ|的最大值为，

此时Q（3，±2），P（，±），

kPQ=±=±，

则直线PQ的方程为：x±2y+=0

设与直线l：x-y+4=0平行，且与抛物线y2=4x相切的直线为x-y+k=0．

由，消x得y2-4y+4k=0．

∴△=42-16k=0，解得k=1，即切线为x-y+1=0．

由，解得点P（1，2）．

∴最短距离d==．