平面向量的数量积及其应用
共703题

平面向量的数量积及其应用
共703题

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题型：简答题

简答题 · 13 分

已知椭圆的一个顶点为B，离心率，直线l交椭圆于M、N两点。

（1）若直线的方程为，求弦MN的长；

（2）如果ΔBMN的重心恰好为椭圆的右焦点F，求直线方程的一般式。

正确答案

（1）（2）

解析

（1）由已知，且，即，

∴，解得，∴椭圆方程为； ……………………3分

由与联立，

消去得，∴，，

∴所求弦长； ……………………6分

（2）椭圆右焦点F的坐标为，

设线段MN的中点为Q，

由三角形重心的性质知，又，

∴，故得，

求得Q的坐标为； ……………………9分

设，则，

且， ……………………11分

以上两式相减得，

，

故直线MN的方程为，即。 ……………………13分

知识点

平面向量数量积的运算

题型：填空题

填空题 · 5 分

已知向量＝(1，)，＝(3，m)，若向量在方向上的投影为3，则实数m＝

正确答案

解析

略

知识点

平面向量数量积的运算

题型：简答题

简答题 · 12 分

在△ABC中，a,b,c是角A,B,C对应的边，向量,，且.

（1）求角C；

（2）函数的相邻两个极值的横坐标分别为，求的单调递减区间.

正确答案

见解析

解析

解析:（1）因为，所以，

故,. ---------5分

（2）

= ----------8分

因为相邻两个极值的横坐标分别为、，所以的最小正周期为,

所以 ---------10分

由

所以的单调递减区间为. ---------12分

知识点

正弦函数的图象三角函数中的恒等变换应用平面向量数量积的运算

题型：简答题

简答题 · 13 分

已知椭圆的左右顶点分别为点在椭圆上，是关于原点的对称点，椭圆的右焦点恰好是的重心。

（1）求椭圆的标准方程；

（2）过椭圆左焦点且斜率为的直线交椭圆与两点，若，求的值。

正确答案

见解析。

解析

（1），

的重心是,由三角形重心的性质知：

，

∴椭圆E的方程为:

（2）设点，由得直线CD的直线方程为

由方程组消去，整理得

由已知得：，解得

知识点

平面向量数量积的运算向量在几何中的应用椭圆的定义及标准方程直线、圆及圆锥曲线的交汇问题

题型：单选题

单选题 · 5 分

已知集合正奇数和集合，若，则M中的运算“”是（）

A加法

B除法

C乘法

D减法

正确答案

解析

由已知集合M是集合P的子集，设，∵，∴，而其它运算均不使结果属于集合，故选C。

知识点

平面向量数量积的运算

题型：简答题

简答题 · 12 分

已知向量，，设函数.

（1）求函数的最大值，并求取得最大值时的值；

（2）在为锐角的中，、、的对边分别为、、，若且的面积为，，求的值。

正确答案

见解析

解析

当即（）时

有最大值为

（2），可得：

，，解得：

可得：

又，，

知识点

平面向量数量积的运算

题型：简答题

简答题 · 14 分

已知函数在上为增函数,且，为常数，。

（1）求的值；

（2）若在上为单调函数,求的取值范围；

（3）设,若在上至少存在一个，使得成立，求的取值范围。

正确答案

（1）（2）（3）

解析

解析：（1）由题意：在上恒成立，即

在上恒成立

只需sin，… 4分

（2）由（1）得，，

由于在其定义域内为单调函数，则

在上恒成立，即在上恒成立，

故，综上，m的取值范围是， ……9分

（3）构造函数，，

当由得，，

所以在上不存在一个，使得；

当m>0时，，

因为，所以在上恒成

立，

故F(x)在上单调递增，

只要，解得

故m的取值范围是，…… 14分

另法：（3）令

知识点

平面向量数量积的运算

题型：简答题

简答题 · 12 分

(本小题满分12分）

已知向量 ,设函数f(x)=(+) 。

（1）求函数f(x)的最小正周期;

（2）已知a,b,c分别为三角形ABC的内角对应的三边长,A为锐角,a=1,b= ，且f(A)恰是函数f(x)在[0,] 上的最大值,求A,b,和三角形的面积.

正确答案

（1）（2）

解析

（1）

…………4分

因为，所以最小正周期. ……………………6分

（2）由（1）知，当时，.

由正弦函数图象可知，当时，取得最大值，又为锐角

所以. ……………………8分

由余弦定理得，所以或

经检验均符合题意. ……………………10分

从而当时，△的面积；……………11分

. ……………………12分

知识点

三角函数的周期性及其求法两角和与差的正弦函数正弦定理平面向量数量积的运算

题型：单选题

单选题 · 5 分

已知向量满足与的夹角为，，则的最大值为

正确答案

解析

解：设，以OA所在的直线为x轴，O为坐标原点建立平面直角坐标系的夹角为，则即表示以为圆心，1为半径的圆，表示点A，C的距离，即圆上的点与A的距离，因为圆心到B的距离为，所以的最大值为，所以D正确

知识点

平面向量数量积的运算数量积表示两个向量的夹角

题型：简答题

简答题 · 12 分

已知向量，，设函数，

（1）求函数的最小正周期及在区间上的最大值；

（2）已知在中，内角的对边分别为，其中为锐角，，，又，求的值。

正确答案

见解析

解析

（1）函数。

∴，（3分）

∵，∴，

∴，即。

∴函数在区间上的最大值为2. （6分）

（2）∵，

∴，∴，

∵为锐角，∴，。

又，∴。

∵为锐角，∴，（9分）

由正弦定理得，∴。

又，∴，（10分）

而，

由正弦定理得，∴，（12分）

知识点

三角函数的周期性及其求法三角函数中的恒等变换应用解三角形的实际应用三角函数的最值平面向量数量积的运算

继续学习棒棒哒，已是最后一个知识点

已完结

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