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题型:填空题
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填空题

由曲线围成区域面积为______

正确答案

解析

解:如图,曲线围成区域面积为:

=sinxdx=-cosx=-(-)=

故答案为:

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题型:简答题
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简答题

设y=f(x)是二次函数,方程f(x)=0有两个相等的实根,且f′(x)=2x+2.

(1)求y=f(x)的表达式;

(2)求y=f(x)的图象与两坐标轴所围成封闭图形的面积.

正确答案

解:(1)∵f′(x)=2x+2   设f(x)=x2+2x+c,

根据f(x)=0有两等根,得△=4-4c=0解得c=1,即f(x)=x2+2x+1;

(2)S==

解析

解:(1)∵f′(x)=2x+2   设f(x)=x2+2x+c,

根据f(x)=0有两等根,得△=4-4c=0解得c=1,即f(x)=x2+2x+1;

(2)S==

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题型:简答题
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简答题

求曲线y=2x-x2,y=2x2-4x所围成图形的面积.

正确答案

解:由

∴所求图象的面积为:

==

解析

解:由

∴所求图象的面积为:

==

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题型: 单选题
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单选题

如图,长方形的四个顶点为O(0,0),A(4,0),B(4,2),C(0,2),曲线经过点B.现将一质点随机投入长方形OABC中,则质点落在图中阴影区域的概率是(  )

A

B

C

D

正确答案

C

解析

解:由已知易得:S长方形=4×2=8,

S阴影=∫04)dx==×=

故质点落在图中阴影区域的概率P==

故选C.

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题型:填空题
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填空题

由y=,x=1,x=2,y=1所围成的封闭图形的面积为______

正确答案

1-ln2

解析

解:因为函数在[1,2]上的积分为

所以围成的封闭图形的面积等于四边形的面积减去曲线与x轴围成的面积1-ln2.

故答案为:1-ln2

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题型:填空题
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填空题

我国齐梁时代的数学家祖暅(公元前5-6世纪)提出了一条原理:“幂势既同,则积不容异.”这句话的意思是:夹在两个平行平面间的两个几何体,被平行于这两个平行平面的任何平面所截,如果截得的两个截面的面积总是相等,那么这两个几何体的体积相等.设:由曲线x2=4y和直线x=4,y=0所围成的平面图形,绕y轴旋转一周所得到的旋转体为Γ1;由同时满足x≥0,x2+y2≤16,x2+(y-2)2≥4,x2+(y+2)2≥4的点(x,y)构成的平面图形,绕y轴旋转一周所得到的旋转体为Γ2.根据祖暅原理等知识,通过考察Γ2可以得到Γ1的体积为______

正确答案

32π

解析

解:如图,两图形绕y轴旋转所得的旋转体夹在两相距为8的平行平面之间,

用任意一个与y轴垂直的平面截这两个旋转体,设截面与原点距离为|y|,所得截面面积 S1=π(42-4|y|),

S2=π(42-y2)-π[4-(2-|y|)2]=π(42-4|y|)

∴S1=S2,由祖暅原理知,两个几何体体积相等,

∵由同时满足x≥0,x2+y2≤16,x2+(y-2)2≥4,x2+(y+2)2≥4的点(x,y)构成的平面图形绕y轴旋转一周所得的旋转体,它应该为一个大的球体减去两个球半径一样的小的球体,体积为•43-2••23=64π,

∴Γ1的体积为32π.

故答案为:32π.

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题型: 单选题
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单选题

的展开式中x9的系数为,则函数f(x)=sinx与直线x=a,x=-a及x轴围成的封闭图形的面积为(  )

A2-2cos2

B4-2cos1

C0

D2+2cos2

正确答案

A

解析

解:因为的展开式中x9的系数为,展开式的通项为=,令18-3r=9得到r=3,所以,解得a=2,

所以函数f(x)=sinx与直线x=2,x=-2及x轴围成的封闭图形如图

面积为:=2(-cosx)|=2-2cos2;

故选A.

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题型:简答题
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简答题

求由抛物线y=x2-2x+5与直线y=x+5所围成的图形的面积S.

正确答案

解:由抛物线y=x2-2x+5与直线y=x+5得x2-3x=0,解得:x=0,或x=3,

故积分区间[0,3],

由抛物线y=x2-2x+5与直线y=x+5所围成的图形的面积S=[(x+5)-(x2-2x+5)]dx

=(x2-x3==

故答案为:

解析

解:由抛物线y=x2-2x+5与直线y=x+5得x2-3x=0,解得:x=0,或x=3,

故积分区间[0,3],

由抛物线y=x2-2x+5与直线y=x+5所围成的图形的面积S=[(x+5)-(x2-2x+5)]dx

=(x2-x3==

故答案为:

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题型:简答题
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简答题

已知函数f(x)=x3-x+2,其导函数为f′(x).

(Ⅰ)求f(x)在x=1处的切线l的方程

(Ⅱ)求直线l与f′(x)图象围成的图形的面积.

正确答案

解:(Ⅰ)f‘(x)=3x2-1,

∴k=f'(1)=2,

又f(1)=2…(4分)

∴l:y-2=2(x-1),即:y=2x…(6分)

(Ⅱ)由…(8分)

…(12分)

解析

解:(Ⅰ)f‘(x)=3x2-1,

∴k=f'(1)=2,

又f(1)=2…(4分)

∴l:y-2=2(x-1),即:y=2x…(6分)

(Ⅱ)由…(8分)

…(12分)

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题型:简答题
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简答题

求下列曲线所围成图形的面积:

曲线y=cosx,x=,x=,y=0.

正确答案

解:根据对称性,得:

曲线y=cosx与直线x=、x=、y=0所围成的平面区域的面积S为:曲线y=cosx与直线x=,x=π所围成的平面区域的面积的二倍,

∴S=-2cosxdx=-2sinx=2.

故曲线y=cosx与直线x=、x=、y=0所围成的面积为2.

解析

解:根据对称性,得:

曲线y=cosx与直线x=、x=、y=0所围成的平面区域的面积S为:曲线y=cosx与直线x=,x=π所围成的平面区域的面积的二倍,

∴S=-2cosxdx=-2sinx=2.

故曲线y=cosx与直线x=、x=、y=0所围成的面积为2.

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