- 定积分的简单应用
- 共603题
（Ⅰ）若函数h（x）=f（x）+
（Ⅱ）对任意的a∈[-1，0），若不等式f（x）＜
（Ⅲ）若函数y=g（x）与y=f（x）的图象关于直线y=x对称，设A（a，g（a）），B（b，g（b）），N=（
正确答案
解：（Ⅰ）h′（x）=
∴a=-2…（4分）
（Ⅱ）由不等式b＞lnx-
∵函数φ（a）=lnx-
∴φ（a）max=φ（-1）=lnx+
∴问题转化为不等式b＞lnx+
令G（x）=lnx+
∴G（x）max=G（1）=-
∴b的取值范围为b＞-
（Ⅲ）由题意得曲边梯形ABCD的面积小于与两个直角梯形ADMN和NMCB的面积的和，
用不等式表示为
即eb-ea＜
证明：设b=lnm，a=lnn，则
不等式eb-ea＜
即
令
即
又令m（t）=
∴函数m（t）在（1，+∞）上单调递减，
∴m（t）＜m（1）=0
∴eb-ea＜
解析
解：（Ⅰ）h′（x）=
∴a=-2…（4分）
（Ⅱ）由不等式b＞lnx-
∵函数φ（a）=lnx-
∴φ（a）max=φ（-1）=lnx+
∴问题转化为不等式b＞lnx+
令G（x）=lnx+
∴G（x）max=G（1）=-
∴b的取值范围为b＞-
（Ⅲ）由题意得曲边梯形ABCD的面积小于与两个直角梯形ADMN和NMCB的面积的和，
用不等式表示为
即eb-ea＜
证明：设b=lnm，a=lnn，则
不等式eb-ea＜
即
令
即
又令m（t）=
∴函数m（t）在（1，+∞）上单调递减，
∴m（t）＜m（1）=0
∴eb-ea＜
祖暅原理对平面图形也成立，即夹在两条平行线间的两个平面图形被任意一条平行于这两条直线的直线截得的线段总相等，则这两个平面图形面积相等．利用这个结论解答问题：函数f（x）=2x、g（x）=2x-1与直线x=0，x=1所围成的图形的面积为______．
正确答案
1
解析
解：由于f（x）=2x、g（x）=2x-1与直线x=0，x=1所围成的图形的面积是：
∫012x-（2x-1）dx=（x）|01=1，
则曲线围成的图形的面积为1，
故答案为：1．
函数f（x）=x2+ax+b（a，b∈R）的值域为[0，+∞），且关于x的不等式f（x）＜c的解集为（m，m+6），在直线x=m，x=m+6，y=0，y=c围成的矩形内任意取一点P，则P点落在y=f（x）与y=c围成的封闭区域内的概率为______．
正确答案
解析
解：∵函数f（x）=x2+ax+b（a，b∈R）的值域为[0，+∞），
∴f（x）=x2+ax+b=0只有一个根，即△=a2-4b=0则b=
不等式f（x）＜c的解集为（m，m+6），
即为x2+ax+
则x2+ax+
∴|m+6-m|=
解得c=9．
对于抛物线f（x）=x2+ax+b（a，b∈R），不论a，b取何值，图形形状不变，所围成的面积为一定值，故令f（x）=x2，则
∵直线x=m，x=m+6，y=0，y=c围成的矩形的面积为54，
∴所求的概率为
故答案为：
函数
正确答案
解析
解：由题意，函数
故答案为：
如图，直线y=kx分抛物线y=x-x2与x轴所围图形为面积相等的两部分，求k的值．
正确答案
解：由kx=x-x2，可得x=0或x=1-k（0＜k＜1）．
由题设得∫01-k[（x-x2）-kx]dx=
即∫01-k[（x-x2）-kx]dx=
∴（1-k）3=
∴k=1-
故k的值为：1-
解析
解：由kx=x-x2，可得x=0或x=1-k（0＜k＜1）．
由题设得∫01-k[（x-x2）-kx]dx=
即∫01-k[（x-x2）-kx]dx=
∴（1-k）3=
∴k=1-
故k的值为：1-
曲线y=x2-2x与直线x=-1，x=l以及x轴所围图形的面积为______..
正确答案
2
解析
解：根据题意画出图形，
曲线y=x2-2x，与直线x=-1，x=1，以及x轴所围成的曲边梯形的面积为
故答案为：2
由三条直线x=0，x=2，y=0和曲线y=x3所围成的图形的面积为______．
正确答案
4
解析
解：由题意，由三条直线x=0，x=2，y=0和曲线y=x3所围成的图形的面积为S=
故答案为：4．
曲线y=
正确答案
解析
解：曲线y=
所以S=
故选B．
（2015秋•高安市校级期末）由曲线y=x2和y2=x围成的封闭图形的面积是______．
正确答案
解析
解：先将y2=x化成：
联立的：
所以曲线y=x2与 
故答案为：
抛物线y=4-x2与x轴所围成的图形的面积的值是______．
正确答案
解析
所以围成的图形的面积为：
=
故答案为：
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