圆锥曲线的综合问题_章节学习

1

题型：简答题

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简答题 · 16 分

22．设，为坐标平面上的点．直线与抛物线交于点（异于点）．

（1）对任意，点在抛物线上，试问当为何值时，点在某一圆上?并求出该圆的方程；

（2）若点在椭圆上运动，试问能否保持在一双曲线上?若能，求出该双曲线的方程．若不能，说明理由；

（3）对（1）中点所在的圆，设为圆上两点，且满足，试寻找一个定圆，使得恒与圆相切．

正确答案

（1）直线，与抛物线联立得，依题意，

，当时，在圆上；

（2）若点在椭圆上运动，则，

（方法1）两边同除以得，，

∴点在双曲线上；

（方法2）设，则代入上式，

得，

即，∴点在双曲线上；

（3）（方法1）设，则，

由得

① 当直线的斜率为零时，

设的方程为，于是（舍负）

②当直线的斜率不为零时，

设的方程为，代入圆的方程得

，于是，

即原点到直线的距离，与无关，

∴直线总与圆相切．

（方法2）设，原点到直线的距离为

则，

即

注意到圆是的外接圆，

∴，∴

即原点到直线的距离为定值，

∴直线总与圆相切．

解析

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知识点

圆的标准方程双曲线的定义及标准方程圆锥曲线的定点、定值问题圆锥曲线中的探索性问题直线、圆及圆锥曲线的交汇问题

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

5.过点M(-2,0)的直线l与椭圆x2+2y2=2交于P1,P2,线段P1P2的中点为P。设直线l的斜率为k1(k1≠0)，直线OP(O为坐标原点)的斜率为k2,则k1k2等于（）

A-2

B2

C-

D

正确答案

C

解析

设P1(x1,y1),P2(x2,y2),P(x0,y0),则,两式作差得,∴k1==-=-,又k2=,∴k1k2=-,故选C.

知识点

直线的倾斜角与斜率椭圆的几何性质直线与椭圆的位置关系圆锥曲线的定点、定值问题

1

题型：简答题

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简答题 · 16 分

18. 平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别是，以为圆心以3为半径的圆与以为圆心以1为半径的圆相交，且交点在椭圆上.

（1）求椭圆的方程；

（2）过椭圆上一动点的直线，过F2与x轴垂直的直线记为，右准线记为；

①设直线与直线相交于点M，直线与直线相交于点N，证明恒为定值，并求此定值。

②若连接并延长与直线相交于点Q，椭圆的右顶点A，设直线PA的斜率为，直线QA的斜率为，求的取值范围．

正确答案

见解析

解析

（1）由题意知，则 ,又可得 ,

所以椭圆C的标准方程为.

（2）①M N

②点（），点Q，

∵，，

∴==．

∵点P在椭圆C上， ∴，

∴==．

∵，

∴．

∴的取值范围是．

考查方向

本题考查了椭圆方程的求法，离心率，圆方程等知识的运用，定值的求法，斜率的表示方法等。

解题思路

本题考查导数的性质，解题步骤如下：

（1）根据离心率和几何特点，求出椭圆方程

（2）表示M，N进而得

（3）表示,进而得的取值范围．

易错点

点M，N表示不当

知识点

椭圆的定义及标准方程圆锥曲线中的范围、最值问题圆锥曲线的定点、定值问题

1

题型：填空题

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填空题 · 15 分

20．已知抛物线：，过焦点的直线交于两点．

（1）若线段的中点为,求点的轨迹方程；

（2）若的面积为(为坐标原点)，求证：为定值，并求出此定值．

正确答案

（1）；

（2）

解析

本题属于圆锥曲线的基本问题，题目的难度是逐渐由易到难，

（1）由直线的参数表示出点，再化为直角坐标方程；

（2）根据弦长公式求出长和对应面积。

（1）法一：

设，，

得：

，

（1）当时，，，整理得：

（2）当时，适合*式

综上：的轨迹方程为

（1）法二：

设，，

，，的轨迹方程为

（2）

（定值）

考查方向

本题考查了求轨迹方程的方法、中点弦的处理方法、弦长公式及面积问题，常见求轨迹方程的方法有直译法、定义法、相关点法及参数法。圆锥曲线常见的问题有弦长、中点、面积、角度和“定”问题——定点、定线和定值。

易错点

1、求轨迹方程方法不熟练和点差法如何处理中点弦。

2、含参运算不正确导致出错。

知识点

抛物线焦点弦的性质直接法求轨迹方程圆锥曲线的定点、定值问题

1

题型：填空题

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填空题 · 16 分

22．如图，

曲线由两个椭圆：和椭圆：组成，

当成等比数列时，称曲线为“猫眼曲线”．

（1）若猫眼曲线过点，且的公比为，求猫眼曲线的方程；

（2）对于题（1）中的求猫眼曲线，任作斜率为且不过原点的直线与该曲线相交，交椭圆所得弦的中点为，交椭圆所得弦的中点为，求证：为与无关的定值；

（3）若斜率为的直线为椭圆的切线，且交椭圆于点，为椭圆上的任意一点（点与点不重合），求面积的最大值．

正确答案

（1），；

（2）略；

（3）．

解析

（1），

，

；

（2）设斜率为的直线交椭圆于点，

线段中点

由，

得

存在且，，

且，

即

同理，得证

（3）设直线的方程为联立方程，

化简得

，

联立方程，

化简得

，

两平行线间距离：

的面积最大值

注：若用第一小题结论，

算得：

的面积最大值为

考查方向

本题主要考查椭圆的标准方程与性质，考查椭圆与直线的位置关系，考查化简运算能力与对新定力的概念的即时学习能力．

解题思路

（1）根据定义求得猫眼曲线Γ的方程；

（2）设交点，由中点公式可得，联立方程，化简可得，同理可得，两式相除消去，即证为与无关的定值；

（3）设直线的方程为，联立方程，化简，从而可得的方程，同理可得的方程，再利用两平行线间距离表示三角形的高，再求|AB|，从而求得最大面积．

易错点

1．对新定义的“猫眼曲线”的概念的不理解，即时学习能力不够；

2．解析几何中繁琐的化简容易出错，特别是带字母的化简运算．

知识点

椭圆的定义及标准方程圆锥曲线中的范围、最值问题圆锥曲线的定点、定值问题

1

题型：简答题

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简答题 · 14 分

19.已知椭圆:的离心率为，点在椭圆C上，O为坐标原点.

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）设动直线与椭圆有且仅有一个公共点，且与圆相交于不在坐标轴上的两点，，记直线，的斜率分别为，，求证：为定值.

正确答案

（Ⅰ）椭圆的方程为

解析

（Ⅰ）解：由题意，得，，

又因为点在椭圆上，

所以，

解得，，，

所以椭圆C的方程为.

（Ⅱ）证明：当直线的斜率不存在时，由题意知的方程为，

易得直线，的斜率之积.

当直线的斜率存在时，设的方程为.

由方程组得，

因为直线与椭圆C有且只有一个公共点，

所以，即.

由方程组得，

设，，则，，

所以

，

将代入上式，

得.

综上，为定值.

考查方向

本题以焦点在x轴上的椭圆和定圆相关知识为背景，通过直线与其位置关系为纽带设计而成，为历届高考中的高频考点，同时圆锥曲线也是学生分析问题、解决问题及计算等能力检测的重要素材。

解题思路

1、每一问通过椭圆离心率，点在椭圆上和列出方程组即可求出的值从而求出椭圆的方程。

2、第二问求证为定值，通过设，可知，于是可考虑运用韦达定理把表达出来求解，从而得出解题的思路：即当（１）斜率不存在时，求；（２）斜率存在时，设的方程分别与圆、椭圆联立方程组进而求解。

易错点

对于第二问不考虑斜率存在与否直接解答从而导致考虑不全面而失分。

知识点

椭圆的定义及标准方程椭圆的几何性质圆锥曲线的定点、定值问题

1

题型：简答题

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简答题 · 12 分

20.椭圆与的中心在原点，焦点分别在轴与轴上，它们有相同的离心率，并且的短轴为的长轴，与的四个焦点构成的四边形面积是.

（1）求椭圆与的方程；

（2）设是椭圆上非顶点的动点，与椭圆长轴两个顶点，的连线，分别与椭圆交于点，.

①求证：直线，斜率之积为常数；

②直线与直线的斜率之积是否为常数？若是，求出该值；若不是，说明理由.

正确答案

（1）；

（2）直线，斜率之积为常数；．

解析

试题分析：本题属于圆锥曲线中的基本问题，题目的难度是逐渐由易到难，

（1）直接按照步骤来求

（2）要注意对参数的讨论．

解：（1）依题意，

设：，

：，

由对称性，四个焦点构成的四边形为菱形，

且面积，

解得：，

所以椭圆：，：

（2）①设，

则，，，

所以：，

直线，斜率之积为常数②设，

则，，，

所以：，

同理：所以：，由，，

结合（1）有

考查方向

本题考查了椭圆的标准方程和直线与椭圆的位置关系，属于高考中的高频考点．

解题思路

本题考查圆锥曲线与直线的位置关系，解题步骤如下：

1、利用e及对称性求a,b。

2、联立直线与椭圆方程求解。

易错点

第二问中表示直线斜率时容易出错。

知识点

直线的倾斜角与斜率椭圆的定义及标准方程圆锥曲线的定点、定值问题

1

题型：简答题

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简答题 · 14 分

19．已知椭圆C:的离心率为，点在椭圆C上。

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）设动直线与椭圆C有且仅有一个公共点，判断是否存在以原点O为圆心的圆，满足此圆与相交两点，（两点均不在坐标轴上），且使得直线，的斜率之积为定值？若存在，求此圆的方程；若不存在，说明理由。

正确答案

（Ⅰ）；

（Ⅱ），．

解析

试题分析：本题属于解析几何的基本问题，题目的难度是逐渐由易到难，（1）直接按照步骤来求，（2）要注意直线不存在斜率的特殊情况，（3）要注意计算结果去正确性

（Ⅰ）解：由题意，得，，

又因为点在椭圆上，

所以，

解得，，，

所以椭圆C的方程为．

（Ⅱ）结论：存在符合条件的圆，且此圆的方程为．

证明如下：

假设存在符合条件的圆，并设此圆的方程为．

当直线的斜率存在时，设的方程为．

由方程组得，

因为直线与椭圆有且仅有一个公共点，

所以，即．

由方程组得，

则．

设，，则，，

设直线，的斜率分别为，，

所以

，

将代入上式，得．

要使得为定值，则，即，验证符合题意．

所以当圆的方程为时，圆与的交点满足为定值．

当直线的斜率不存在时，由题意知的方程为，

此时，圆与的交点也满足．

综上，当圆的方程为时，圆与的交点满足斜率之积为定值．

考查方向

本题主要考查了椭圆的标准方程、直线与椭圆的位置关系，直线与圆锥曲线的位置关系的考查主要分以下几类：

1．直线与圆锥曲线的公共点个数问题，

2．弦长问题，

3．中点弦问题．

解题思路

本题考查直线与椭圆的位置关系，解题步骤如下：

1．利用待定系数法求出椭圆的标准方程；

2．假设存在，设出圆的方程与直线方程；

3．联立直线与椭圆的方程，化简得到关于的一元二次方程，利用判别式为0求得的关系；

4．联立直线与圆的方程，化简得到关于的一元二次方程，利用平面向量的数量积求解；

5．讨论直线斜率不存在的情况，得到结论。

易错点

1、第二问中，联立直线与圆的方程得到关于关于的一元二次方程后，要注意验证判别式为正值；

2、第二问中，不要忘记“直线无斜率”的特殊情况。

知识点

椭圆的定义及标准方程圆锥曲线的定点、定值问题圆锥曲线中的探索性问题直线、圆及圆锥曲线的交汇问题

1

题型：简答题

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简答题 · 16 分

22．如图，曲线由两个椭圆：和椭圆：组成，当成等比数列时，称曲线为“猫眼曲线”.

（1）若猫眼曲线过点，且的公比为，求猫眼曲线的方程；

（2）对于题（1）中的求猫眼曲线，任作斜率为且不过原点的直线与该曲线相交，交椭圆所得弦的中点为，交椭圆所得弦的中点为，求证：为与无关的定值；

（3）若斜率为的直线为椭圆的切线，且交椭圆于点，为椭圆上的任意一点（点与点不重合），求面积的最大值.

正确答案

（1），；

（2）证法略；

（3）

解析

（1），，

，；

（2）设斜率为的直线交椭圆于点，线段中点

由，得

存在且，，且

，即

同理，

得证

（3）设直线的方程为

，

两平行线间距离：

的面积最大值为

注：若用第一小题结论，算得：

的面积最大值为

考查方向

本题考查了椭圆的定义，方程的求法，直线与椭圆的位置关系，在近几年的各省高考题出现的频率非常高，常与求函数值域等知识点交汇命题。

解题思路

本题考查了椭圆的定义，方程的求法，直线与椭圆的位置关系，解题步骤如下：

（1）待定系数法求出椭圆方程；

（2）点差法推导直线的斜率的关系；

（3）利用设而不求，弦长公式求解三角形面积，

易错点

注意焦点位置的变化，区分几何意义的转变。

知识点

椭圆的定义及标准方程圆锥曲线中的范围、最值问题圆锥曲线的定点、定值问题

1

题型：简答题

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简答题 · 12 分

正确答案

知识点

椭圆的几何性质圆锥曲线的定点、定值问题圆锥曲线中的探索性问题直线、圆及圆锥曲线的交汇问题

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