- 圆锥曲线的综合问题
- 共478题
如图,已知直线与抛物线
和圆
都相切,
是抛物线
的焦点。
(1)求与
的值;
(2)设是
上的一动点,以
为切点作抛物线
的切线
,直线
交
轴于点
,以
,
为邻边作平行四边形
,证明:点
在一条定直线上;
(3)在(2)的条件下,记点所在的定直线为
,直线
与
轴交点为
,连接
交抛物线
于
,
两点,求△
的面积
的取值范围。
正确答案
见解析
解析
(1)由已知,圆的圆心为
,半径
.
由题设圆心到直线的距离
,即
,
解得,
.………………3分
设与抛物线的切点为
,又
,得
,
.
代入直线方程得:,
∴,
.………………5分
(2)由(1)知抛物线方程为
,焦点
.
设,由(1)知以
为切点的切线
的方程为
.
令,得切线
交y轴的B点坐标为
所以,
,
∴,
∴,即点
在定直线
上.……………8分
(3)设直线,代入
得,设
,
的横坐标分别为
,
则,
∴;
∵,
∴,即△
的面积S范围是
. ……………13分
知识点
如图,已知抛物线:
和⊙
:
,过抛物线
上一点
作两条直线与⊙
相切于
、
两点,分别交抛物线为E、F两点,圆心点
到抛物线准线的距离为
。
(1)求抛物线的方程;
(2)当的角平分线垂直
轴时,求直线
的斜率;
(3)若直线在
轴上的截距为
,求
的最小值。
正确答案
(1)(2)
(3)-11
解析
解析:(1)∵点到抛物线准线的距离为
,
∴,即抛物线
的方程为
。----------------------------------------------2分
(2)法一:∵当的角平分线垂直
轴时,点
,∴
,
设,
,
∴, ∴
,
∴。
。---------------------------6分
法二:∵当的角平分线垂直
轴时,点
,∴
,可得
,
,∴直线
的方程为
,
联立方程组,得
,
∵ ∴
,
。
同理可得,
,∴
。---------------------------6分
(3)法一:设,∵
,∴
,
可得,直线的方程为
,
同理,直线的方程为
,
∴,
,
∴直线的方程为
, 令
,可得
,
∵关于
的函数在
单调递增, ∴
。------------------------------12分
法二:设点,
,
。
以为圆心,
为半径的圆方程为
,........................................................................................................................................ ①
⊙方程:
。....................................................... ②
①-②得:直线的方程为
。
当时,直线
在
轴上的截距
,
∵关于
的函数在
单调递增, ∴
。 ------------------------12分
知识点
20.已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,短轴一个端点到右焦点的距离为。
(1)求椭圆C的方程;
(2)设直线l与椭圆C交于A、B两点,坐标原点O到直线l的距离为,求△AOB面积的最大值。
正确答案
解析
解析已在路上飞奔,马上就到!
知识点
21.已知圆经过椭圆
的右焦点
及上顶点
。
(1)求椭圆的方程;
(2)过椭圆外一点倾斜角为
的直线
交椭圆于
.
两点,若点
在以线段
为直径的圆
的外部,求
的取值范围。
正确答案
(1)与
轴、
轴交点为
和
,
,
椭圆方程为:
(2)设直线的方程为:
(
)
可得:
可得:即
设,
,
则,
化简得:
可得:,
取值范围为
解析
解析已在路上飞奔,马上就到!
知识点
20.已知圆的圆心在坐标原点
,且恰好与直线
相切.
(1)求圆的标准方程;
(2)设点为圆上一动点,
轴于
,若动点
满足
,其中
为非零常数,试求动点
的轨迹方程
;
(3)在(2)的结论下,当时,得到动点
的轨迹曲线
,与
垂直的直线
与曲线
交于
两点,求
面积的最大值.
正确答案
解析
解析已在路上飞奔,马上就到!
知识点
14、由直线x=-,x=
,y=0与曲线y=cos x所围成的封闭图形的面积为______。
正确答案
解析
解析已在路上飞奔,马上就到!
知识点
11.抛物线的焦点为F,点A,B在抛物线上,且
,弦AB中点M在其准线上的射影为N,则
的最大值为( )
正确答案
解析
解析已在路上飞奔,马上就到!
知识点
19. 已知双曲线的方程为
,椭圆
长轴的两个端点恰好为双曲线
的两个焦点。
(Ⅰ)如果椭圆的两个焦点又是双曲线的两个顶点,求椭圆
的方程;
(Ⅱ)如果椭圆的方程为
,且椭圆
上存在两点A,B关于直线
对称,求
取值范围。
正确答案
解析
解析已在路上飞奔,马上就到!
知识点
20.已知椭圆C:的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形,直线
与以椭圆C的右焦点为圆心,以椭圆的长半轴长为半径的圆相切.
(1)求椭圆的方程;
(2)设为椭圆上一点,若过点
的直线
与椭圆
相交于不同的两点
和
,且满足
(O为坐标原点),求实数
的取值范围.
正确答案
解析
解析已在路上飞奔,马上就到!
知识点
20.如图,已知抛物线的准线为
,焦点为
,圆
的圆心在
轴的正半轴上,圆
与
轴相切,过原点
作倾斜角为
的直线
,交直线
于点
,交圆
于不同的两点
,且
。
(1)求圆和抛物线
的方程;
(2)若为抛物线
上的动点,求
的最小值;
(3)过直线上的动点
向圆
作切线,切点分别为
,求证:直线
恒过一个定点,并求该定点的坐标.
正确答案
解析
解析已在路上飞奔,马上就到!
知识点
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