圆锥曲线的综合问题_章节学习

1

题型：简答题

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简答题 · 13 分

如图，已知直线与抛物线和圆都相切，是抛物线的焦点。

（1）求与的值；

（2）设是上的一动点，以为切点作抛物线的切线，直线交轴于点，以，为邻边作平行四边形，证明：点在一条定直线上；

（3）在（2）的条件下，记点所在的定直线为，直线与轴交点为，连接交抛物线于，两点，求△的面积的取值范围。

正确答案

见解析

解析

(1)由已知，圆的圆心为，半径.

由题设圆心到直线的距离，即，

解得，.………………3分

设与抛物线的切点为，又，得，.

代入直线方程得：，

∴，.………………5分

(2)由(1)知抛物线方程为，焦点.

设，由(1)知以为切点的切线的方程为.

令，得切线交y轴的B点坐标为

所以，，

∴，

∴，即点在定直线上.……………8分

(3)设直线，代入

得，设，的横坐标分别为，

则，

∴；

∵，

∴，即△的面积S范围是. ……………13分

知识点

直线与圆的位置关系圆锥曲线中的范围、最值问题直线、圆及圆锥曲线的交汇问题

2

题型：简答题

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简答题 · 12 分

如图，已知抛物线：和⊙：，过抛物线上一点作两条直线与⊙相切于、两点，分别交抛物线为E、F两点，圆心点到抛物线准线的距离为。

（1）求抛物线的方程；

（2）当的角平分线垂直轴时，求直线的斜率；

（3）若直线在轴上的截距为，求的最小值。

正确答案

（1）（2）（3）-11

解析

解析：（1）∵点到抛物线准线的距离为，

∴，即抛物线的方程为。----------------------------------------------2分

（2）法一：∵当的角平分线垂直轴时，点，∴，

设，，

∴， ∴ ，

∴。。---------------------------6分

法二：∵当的角平分线垂直轴时，点，∴，可得，，∴直线的方程为，

联立方程组，得，

∵ ∴，。

同理可得，，∴。---------------------------6分

（3）法一：设，∵，∴，

可得，直线的方程为，

同理，直线的方程为，

∴，，

∴直线的方程为，令，可得，

∵关于的函数在单调递增， ∴。------------------------------12分

法二：设点，，。

以为圆心，为半径的圆方程为，........................................................................................................................................ ①

⊙方程：。....................................................... ②

①-②得：直线的方程为。

当时，直线在轴上的截距，

∵关于的函数在单调递增， ∴。 ------------------------12分

知识点

直线的倾斜角与斜率抛物线的标准方程和几何性质圆锥曲线中的范围、最值问题直线、圆及圆锥曲线的交汇问题

3

题型：简答题

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简答题 · 12 分

20．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，短轴一个端点到右焦点的距离为。

（1）求椭圆C的方程；

（2）设直线l与椭圆C交于A、B两点，坐标原点O到直线l的距离为，求△AOB面积的最大值。

正确答案

解析

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知识点

椭圆的定义及标准方程圆锥曲线中的范围、最值问题直线、圆及圆锥曲线的交汇问题

4

题型：简答题

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简答题 · 16 分

21．已知圆经过椭圆的右焦点及上顶点。

（1）求椭圆的方程；

（2）过椭圆外一点倾斜角为的直线交椭圆于．两点，若点在以线段为直径的圆的外部，求的取值范围。

正确答案

（1）与轴、轴交点为和

，，

椭圆方程为：

（2）设直线的方程为：（）

可得：

可得：即

设，，

则，

化简得：

可得：，

取值范围为

解析

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知识点

椭圆的定义及标准方程圆锥曲线中的范围、最值问题直线、圆及圆锥曲线的交汇问题

5

题型：简答题

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简答题 · 14 分

20.已知圆的圆心在坐标原点，且恰好与直线相切.

（1）求圆的标准方程；

（2）设点为圆上一动点,轴于，若动点满足,其中为非零常数，试求动点的轨迹方程；

（3）在（2）的结论下，当时，得到动点的轨迹曲线，与垂直的直线与曲线交于两点，求面积的最大值.

正确答案

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向量在几何中的应用椭圆的定义及标准方程相关点法求轨迹方程圆锥曲线中的范围、最值问题直线、圆及圆锥曲线的交汇问题

6

题型：填空题

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填空题 · 5 分

14、由直线x＝－，x＝，y＝0与曲线y＝cos x所围成的封闭图形的面积为______。

正确答案

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知识点

圆锥曲线中的范围、最值问题

7

题型：单选题

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单选题 · 5 分

11．抛物线的焦点为F，点A,B在抛物线上，且，弦AB中点M在其准线上的射影为N，则的最大值为（）

A

B

C1

D

正确答案

A

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抛物线的标准方程和几何性质直线与抛物线的位置关系圆锥曲线中的范围、最值问题

8

题型：简答题

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简答题 · 13 分

19. 已知双曲线的方程为，椭圆长轴的两个端点恰好为双曲线的两个焦点。

（Ⅰ）如果椭圆的两个焦点又是双曲线的两个顶点，求椭圆的方程;

（Ⅱ）如果椭圆的方程为，且椭圆上存在两点A，B关于直线对称，求取值范围。

正确答案

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知识点

椭圆的定义及标准方程圆锥曲线中的范围、最值问题直线、圆及圆锥曲线的交汇问题

9

题型：简答题

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简答题 · 12 分

20．已知椭圆C：的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形，直线与以椭圆C的右焦点为圆心，以椭圆的长半轴长为半径的圆相切．

（1）求椭圆的方程；

（2）设为椭圆上一点，若过点的直线与椭圆相交于不同的两点和,且满足（O为坐标原点），求实数的取值范围．

正确答案

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知识点

向量在几何中的应用椭圆的定义及标准方程圆锥曲线中的范围、最值问题直线、圆及圆锥曲线的交汇问题

10

题型：简答题

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简答题 · 14 分

20．如图，已知抛物线的准线为，焦点为，圆的圆心在轴的正半轴上，圆与轴相切，过原点作倾斜角为的直线，交直线于点，交圆于不同的两点，且。

（1）求圆和抛物线的方程；

（2）若为抛物线上的动点，求的最小值；

（3）过直线上的动点向圆作切线，切点分别为，求证：直线恒过一个定点，并求该定点的坐标．

正确答案

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知识点

圆的标准方程抛物线的标准方程和几何性质圆锥曲线中的范围、最值问题圆锥曲线的定点、定值问题直线、圆及圆锥曲线的交汇问题

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