圆锥曲线的综合问题_章节学习

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题型：简答题

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简答题 · 14 分

21．已知椭圆：的左焦点，若椭圆上存在一点，满足以原点为圆心以椭圆短轴长为直径的圆与线段相切于线段的中点．

（1）求椭圆的方程；

（2）已知两点及椭圆：，过点作斜率为的直线交椭圆于两点，设线段的中点为，连结，试问当为何值时，直线过椭圆的顶点?

（3）过坐标原点的直线交椭圆：于、两点，其中在第一象限，过作轴的垂线，垂足为，连结并延长交椭圆于，求证：．

正确答案

（1）连接为坐标原点，为右焦点），

由题意知：椭圆的右焦点为

因为是的中位线，

且，所以

所以，

故

在中，

即，

又，解得

所求椭圆的方程为．

（2）由（1）得椭圆：

设直线的方程为并代入

整理得：

由得：

设

则由中点坐标公式得：

①当时，有，直线显然过椭圆的两个顶点；

②当时，则，直线的方程为

此时直线显然不能过椭圆的两个顶点；

若直线过椭圆的顶点，

则即

所以，

解得：（舍去）

若直线过椭圆的顶点，

则即

所以，

解得：（舍去）

综上，当或或时，

直线过椭圆的顶点

（3）由（1）得椭圆的方程为

根据题意可设，则，

，

所以直线

，

化简得

所以

因为，所以，

则

所以，

则，即

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知识点

椭圆的定义及标准方程直线、圆及圆锥曲线的交汇问题

1

题型：简答题

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简答题 · 12 分

21．过点A（-4，0）向椭圆引两条切线，切点分别为B,C，且为正三角形.

（Ⅰ）求最大时椭圆的方程；

（Ⅱ）对（Ⅰ）中的椭圆，若其左焦点为，过的直线与轴交于点，与椭圆的一个交点为，且求直线的方程。

正确答案

（Ⅰ）由题意，其中一条切线的方程为：

联立方程组

消去得

即

有，可得

因为，所以，即

所以当时，取最大值；求得

故椭圆的方程为

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，设直线方程为：

设，则

当时，，有定比分点公式可得：

代入椭圆解得直线方程为

同理当时，无解

故直线方程为

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知识点

直线的一般式方程椭圆的定义及标准方程直线、圆及圆锥曲线的交汇问题

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

9.已知分别为双曲线的左右焦点，P为双曲线上除顶点外的任意一点，且△的内切圆交实轴于点M，则的值为（）

A

B

C

D

正确答案

A

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双曲线的几何性质直线、圆及圆锥曲线的交汇问题

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

6．已知双曲线的左、右焦点分别为，以为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为，则此双曲线的方程为（）

A

B

C

D

正确答案

C

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知识点

双曲线的定义及标准方程双曲线的几何性质直线、圆及圆锥曲线的交汇问题

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

11．动点为椭圆上异于椭圆顶点的一点，为椭圆的两个焦点，动圆与线段的延长线及线段相切，则圆心的轨迹为除去坐标轴上的点的（）

A一条直线

B双曲线右支

C抛物线

D椭圆

正确答案

A

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知识点

椭圆的定义及标准方程直接法求轨迹方程直线、圆及圆锥曲线的交汇问题

1

题型：简答题

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简答题 · 13 分

20．已知椭圆的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线相切，过点P（4，0）且不垂直于x轴直线与椭圆C相交于A、B两点。

（1）求椭圆C的方程；

（2）求的取值范围；

（3）若B点在于x轴的对称点是E，证明：直线AE与x轴相交于定点。

正确答案

（1）解：由题意知，

∴，即
　　又，

∴
　　故椭圆的方程为

（2）解：由题意知直线l的斜率存在，设直线l的方程为
　　由得：
　　由

得：
　　设A(x1，y1)，B (x2，y2)，则　　①
　　∴

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知识点

直线与圆的位置关系椭圆的定义及标准方程圆锥曲线的定点、定值问题直线、圆及圆锥曲线的交汇问题

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

8．已知分别是椭圆的左，右焦点，现以为圆心作一个圆恰好经过椭圆中心并且交椭圆于点，若过的直线是圆的切线，则椭圆的离心率为（）

A

B

C

D

正确答案

A

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知识点

椭圆的几何性质直线、圆及圆锥曲线的交汇问题

1

题型：简答题

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简答题 · 12 分

21．已知抛物线的焦点为F，过点的直线与相交于、两点，点A关于轴的对称点为D .

（Ⅰ）判断点F是否在直线BD上；

（Ⅱ）设，求的内切圆M的方程 .

正确答案

设，，，的方程为.

（Ⅰ）将代人并整理得

，从而

直线的方程为

，

即

令所以点在直线上。4分

（Ⅱ）由①知

因为，

故，解得

所以的方程为

又由①知

故直线BD的斜率，

因而直线BD的方程为

因为KF为的平分线，故可设圆心，到及BD的距离分别为.

由得，或（舍去），

故圆M的半径.

所以圆M的方程为.

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知识点

平面向量数量积的运算圆的标准方程抛物线的标准方程和几何性质直线、圆及圆锥曲线的交汇问题

1

题型：简答题

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简答题 · 15 分

21．已知椭圆C的离心率，长轴的左右端点分别为A1(－2,0)，A2(2,0)．

（I）求椭圆C的方程；

（II）设直线x＝my＋1与椭圆C交于P，Q两点，直线A1P与A2Q交于点S，试问：当m变化时，点S是否恒在一条定直线上？若是，请写出这条直线方程，并证明你的结论；若不是，请说明理由．

正确答案

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知识点

椭圆的定义及标准方程圆锥曲线的定点、定值问题圆锥曲线中的探索性问题直线、圆及圆锥曲线的交汇问题

1

题型：简答题

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简答题 · 15 分

21．已知抛物线的焦点为，抛物线上一点的横坐标为，过点作抛物线的切线交轴于点，交轴于点，交直线于点，当时，．

（1）求证：为等腰三角形，并求抛物线的方程；

（2）若位于轴左侧的抛物线上，过点作抛物线的切线交直线于点，交直线于点，求面积的最小值，并求取到最小值时的值．

正确答案

（1）设，则处的切线方程为

所以，

所以；即为等腰三角形

又为线段的中点，所以，得：

所以，

（2）设，则处的切线方程为

由，

同理，所以面积……①

设的方程为，则

由，得代入①

得：，使面积最小，则得到②

令，②得，，

所以当时单调递减；当单调递增，

所以当时，取到最小值为，此时，，

所以，即

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抛物线的标准方程和几何性质圆锥曲线中的范围、最值问题直线、圆及圆锥曲线的交汇问题

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