- 椭圆
- 共5181题
(12分)已知圆及定点
,点Q是圆A上的动点,点G在BQ上,点P在QA上,且满足
,
=0.
(I)求P点所在的曲线C的方程;
(II)过点B的直线与曲线C交于M、N两点,直线
与y轴交于E点,若
为定值。
正确答案
(I)+y2=1;(ⅡI)见解析.
(1)由,
=0得
垂直平分线段
,
即,所以
,根据椭圆的定义得曲线C的方程;
(2)利用点M、N在椭圆上,,
可得到
,
.
,
是方程
的两个根,∴
.
也可以设出直线 的方程,与椭圆
的方程联立,求出
,
.由
,
可得到
,
整理
∵,
=0∴
垂直平分线段
,
即,所以
,由椭圆定义:
曲线C的方程为+y2=1 5分
(Ⅱ)证法1:设点的坐标分别为
,
又易知点的坐标为
.且点B在椭圆C内,故过点B的直线l必与椭圆C相交.
∵,∴
.
∴ ,
. 7分
将M点坐标代入到椭圆方程中得:,
去分母整理,得. 10分
同理,由可得:
.
∴ ,
是方程
的两个根,
∴ . 12分
(Ⅱ)证法2:设点的坐标分别为
,又易知
点的坐标为
.且点B在椭圆C内,故过点B的直线l必与椭圆C相交.
显然直线 的斜率存在,设直线
的斜率为
,则直线
的方程是
.
将直线 的方程代入到椭圆
的方程中,消去
并整理得
. 8分
∴ ,
.
又 ∵,
则.∴
,
同理,由,∴
. 10分
∴. 12分
(本题满分14分)如图,已知为椭圆
的右焦点,直线
过点
且与双曲线
的两条渐进线
分别交于点
,与椭圆交于点
.
(I)若,双曲线的焦距为4。求椭圆方程。
(II)若(
为坐标原点),
,求椭圆的离心率
正确答案
19、(本小题满分14分)
解:(I),
是直线
与双曲线两条渐近线的交点,
, 即
………………2分
双曲线的焦距为4,
……………………4分
解得,
椭圆方程为
…………5分
(II)解:设椭圆的焦距为,则点
的坐标为
,
直线
的斜率为
,
直线
的斜率为
,
直线
的方程为
…………………………………………7分
由 解得
即点
设由
,得
即
……10分。
点
在椭圆上,
………………………………12分
,
椭圆的离心率是。 -----------------------------------14分
略
14分)已知椭圆中心在原点,焦点在x轴上,一个顶点为A(0,-1),且其右焦点到直线x-y+=0的距离为3.(I)求椭圆的方程;
(II)是否存在斜率为k(k≠0)的直线l,使l与已知椭圆交于不同的两点M、N,
且|AN|=|AM|?若存在,求出k的取值范围;若不存在,请说明理由.
正确答案
(1)
(2)故满足条件的直线l存在,其斜率k的范围为-1<k<1且k≠0.
(I)解:由题意,设椭圆方程为:(a>1),
则右焦点为F (,0),由已知
,解得:a=
∴椭圆方程为: …………5分
(II)解:设存在满足条件的直线l,其方程为y=kx+b(k≠0)
由 得:
① …………7分
设M(x1,y1)、N(x2,y2)是方程①的两根,则
② …………9分
由韦达定理得:
从而MN的中点P的坐标为() ……10分
∵|AM|=|AN| ∴AP是线段MN的垂直平分线 ∴AP⊥MN
于是 , ………12分
代入②并整理得:(3k2+1)(k2-1)<0,∴-1<k<1
故满足条件的直线l存在,其斜率k的范围为-1<k<1且k≠0. ………14分
(本小题满分12分)
已知椭圆C:的长轴长为4.
(1)若以原点为圆心,椭圆短半轴长为半径的圆与直线相切,求椭圆焦点坐标;
(2)若点P是椭圆C上的任意一点,过原点的直线L与椭圆交于M,N两点,直线PM,PN的斜率乘积为,求椭圆的方程.
正确答案
(1)两个焦点坐标为
(2)椭圆方程为
解:(1)由直线与圆相切知:,得
…………………………………(2分)
由,得
,则
∴两个焦点坐标为……………………………………………(4分)
(2)由于过原点的直线L与椭圆的两个交点关于原点对称
不妨设:
∵在椭圆上,∴满足
,相减得:
……………(8分)
由题意知斜率存在,则
………………………(10分)
由,得
,∴所求的椭圆方程为
……………………………(12分)
已知为焦点的椭圆与
直线
有且仅有一个交点,则椭圆的长轴长为 。
正确答案
略
.(本小题满分12分)已知椭圆的中心在原点,焦点在轴上,一个顶点为
,且其右焦点到直线
的距离为3.
(1)求椭圆的方程;
(2)是否存在斜率为 ,且过定点
的直线
,使
与椭圆交于两个不同的点
、
,且
?若存在,求出直线
的方程;若不存在,请说明理由.
正确答案
(Ⅰ). (Ⅱ)
或
。
本试题主要是考查了椭圆方程的求解和直线与椭圆的位置关系的运用。
(1)设椭圆的方程为,由已知得
.
设右焦点为,由题意得
得到结论。
(2)直线的方程
, 代入椭圆方程,得
由 得
结合韦达定理和
点
在线段
的中垂线上,得到k的值。
解:(Ⅰ)设椭圆的方程为,由已知得
.
设右焦点为,由题意得
……………………………2分
.
椭圆的方程为
. ……………………4分
(Ⅱ)直线的方程
, 代入椭圆方程,得
由 得
…………………6分
设点则
设、
的中点为
,则点
的坐标为
. ………………8分
点
在线段
的中垂线上.
化简,得
. ……………………………10分
所以,存在直线满足题意,直线
的方程为
或
……………………………12分
(本小题满分12分)
已知椭圆C:的离心率为
,且过点Q(1,
).
(1) 求椭圆C的方程;
(2) 若过点M(2,0)的直线与椭圆C相交于A,B两点,设P点在直线
上,且满足 (O为坐标原点),求实数t的最小值.
正确答案
(1);(2)
.
本试题主要是考查了椭圆的方程的求解以及直线与椭圆的位置关系的综合运用。
(1)利用已知的性质离心率得到a,c比例关系,同时要结合过点,得到椭圆的方程。
(2)中利用由已知直线AB的斜率存在,设AB的方程为:
与椭圆方程联立,结合韦达定理以及向量关系式得到k的关系式,借助于均值不等式求解最值。
解:(1)设椭圆的焦距为,因为离心率为
,
,
所以 --------------2分
设椭圆方程为又点
在椭圆上,
--------------3分
所以椭圆方程为 --------------4分
(2)由已知直线AB的斜率存在,设AB的方程为:
由 得
,得:
,即
-------6分
设,
,
,显然
时
;当
时,
,
-------8分
因为点在直线
上所以
即 -------9分
因为
(当且仅当时取等号)(因为
)
-------11分
综上: -------12分
已知椭圆的左右焦点为F1,F2,点P在椭圆上,且|PF1|=6,则
=
正确答案
略
(本小题满分12分)
已知方向向量为的右焦点,且椭圆的离心率为
.
(1)求椭圆C的方程;
(2)若已知点D(3,0),点M,N是椭圆C上不重合的两点,且,求实数
的取值范围.
正确答案
(1)
(2)
略
已知的离心率是 .
正确答案
略
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