热门试卷

（I）；（II）或 

试题分析：（I）由题意列关于a、b、c的方程组，解方程得a、b、c的值，既得椭圆的方程；（II）非两种情况讨论：当直线与轴垂直时，，此时不符合题意故舍掉；当直线与轴不垂直时，设直线 的方程为：，代入椭圆方程消去得：，再由韦达定理得，再由点到直线的距离公式得原点到直线的距离，所以三角形的面积从而可得直线的方程．

试题解析：（Ⅰ）由题意， ， 解得即：椭圆方程为    3分                           

（Ⅱ）当直线与轴垂直时，，此时不符合题意故舍掉；       4分

当直线与轴不垂直时，设直线 的方程为：，

代入消去得：.                   6分

设 ，则，                     7分

所以 .                                          9分

原点到直线的距离，所以三角形的面积.

由，                               12分

所以直线或.              13分

（1）（2）的最小值为，最大值为1

(1)根据题意，动点满足椭圆定义，且

因此动点所在的曲线方程为

(2) 设，，的斜率为，则的方程为，

的方程为

解方程组得，

同理可求得，  

面积=   

令，则

令

所以，即    

当时，可求得,故，

故的最小值为，最大值为1.   

（1）；（2）详见解析

试题分析：（1）由点为短轴的一个端点可知，在直角三角形中已知，从而可得。因为，所以.（2）设过点的直线方程为：，与椭圆方程联立消去整理为关于的一元二次方程，设点即为方程的两根，可得根与系数的关系。由斜率公式可分别求得直线和直线的斜率，根据点斜式可得两直线方程。直线和直线分别与直线联立，求交点。根据中点坐标公式可得点坐标。根据斜率公式求。即可证得为定值。

解：（1）由条件可知，                                     2分

故所求椭圆方程为.                                 4分

（2）设过点的直线方程为：.                     5分

由可得：           6分

因为点在椭圆内，所以直线和椭圆都相交，即恒成立.

设点，则

.                        8分

因为直线的方程为：，

直线的方程为：，                    9分

令，可得，，

所以点的坐标.                       10分

直线的斜率为

             12分

所以为定值.                                    13分

（1）见解析  （2）   （3）存在，

（1）若A，B为椭圆上相异的两点，为A，B中点，当直线AB的斜率与直线OP的斜率的乘积必为定值;(1分)

证1：设，则

（2）-（1）得：，(2分)

仅考虑斜率存在的情况

(4分)

证2：设AB：与椭圆联立得：

， (2分)

所以(4分)

（2）（ⅰ）当点A无限趋近于点B时，割线AB的斜率就等于椭圆上的B的切线的斜率，

即，

所以点B处的切线QB：(6分)

令，，令，所以(8分)

又点B在椭圆的第一象限上，所以

，当且仅当

所以当时，三角形OCD的面积的最小值为---10分（没写等号成立扣1分）

（ⅱ）设，由（ⅰ）知点处的切线为：

又过点，所以，又可理解为点在直线上同理点在直线上，所以直线MN的方程为： (12分)

所以原点O到直线MN的距离，所以直线MN始终与圆相切.  (14分)

（1）＝1（2）3x＋2y＋2－2＝0.

(1)设椭圆左焦点为F(－c，0)，则由题意得得

所以椭圆方程为＝1.

(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，线段AB的中点为M.当直线AB与x轴垂直时，直线AB的方程为x＝0，与不过原点的条件不符，舍去．故可设直线AB的方程为y＝kx＋m(m≠0)，由消去y，整理得(3＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－12＝0，①

则Δ＝64k2m2－4(3＋4k2)(4m2－12)＞0，，

所以线段AB的中点为M.

因为M在直线OP：y＝x上，所以＝，得m＝0(舍去)或k＝－.

此时方程①为3x2－3mx＋m2－3＝0，则Δ＝3(12－m2)＞0，，所以AB＝·|x1－x2|＝·，设点P到直线AB的距离为d，则d＝

.设△ABP的面积为S，则S＝AB·d＝.其中m∈(－2，0)∪(0，2)．令u(m)＝(12－m2)(m－4)2，m∈[－2，2]，u′(m)＝－4(m－4)(m2－2m－6)＝－4(m－4)·(m－1－)(m－1＋)．所以当且仅当m＝1－时，u(m)取到最大值．故当且仅当m＝1－时，S取到最大值．综上，所求直线l的方程为3x＋2y＋2－2＝0

（1）①见解析②＝1（2）见解析

(1)证明：①依题意：A(2，2)，M(4，1)，E(0，－2)，∴＝(2，－1)，＝(－2，－4)，∴·＝0，∴AM⊥AE.

∵AE为Rt△ABE外接圆直径，∴直线AM与△ABE的外接圆相切．

②解：由解得椭圆标准方程为＝1.

(2)证明：设正方形ABCD的边长为2s，正方形MNPQ的边长为2t，则A(s，s)，M(s＋2t，t)，代入椭圆方程＝1，得即 

∴e2＝1－.∵k＝，∴2e2－k＝2为定值．

⑴．⑵ ．

(1)由离心率和b值，不难求出a,从而方程易求。

(2)在（1）的基础上，可知由于圆与有公共点，所以到 的距离小于或等于圆的半径．因为，所以，

即 ．然后再借助椭圆方程，消y0转化为求解即可。

解：⑴因为，且，所以．……………………………………2分

所以．………………………………………………………………………………4分

所以椭圆的方程为．……………………………………………………6分

⑵设点的坐标为，则．

因为，，所以直线的方程为．………………………………8分

由于圆与有公共点，所以到 的距离小于或等于圆的半径．

因为，所以，………………10分

即 ．

又因为，所以．…………………………12分

解得，又，∴．……………………………………14分

当时，，所以 ．…………16分