热门试卷

（1）详见解析；（2）（3）存在，最大值为，直线方程为，或

试题分析：（1）设，从而可得各向量的坐标。当时，可得与，与间的关系。将点代入椭圆方程，结合与，与间的关系可得，即（2）当时由（1）知且故可设。根据和及解方程组可求得的值。（3）根据向量数量积公式及三角形面积公式分析可知。设直线的方程为，与椭圆方程联立消去 整理为关于的一元二次方程，可得根与系数的关系。从而可用表示。用配方法求最值。注意讨论直线斜率不存在和斜率为0两种特殊情况。

（1）设，则，

当时，，

由M，N两点在椭圆上，

若，则舍，

（2）当时，不妨设

又，

，椭圆C的方程为 

（3），

设直线的方程为

联立，得，

记 ，

则 

，当，即时取等号 ．

并且，当k=0时，

当k不存在时

综上有最大值，最大值为

此时，直线的方程为，或

（Ⅰ）  （Ⅱ）联立方程组表示出向量,再证.

试题分析：（Ⅰ） 观察知，是圆的一条切线，切点为，

设为圆心，根据圆的切线性质，，

所以， 所以直线的方程为.

线与轴相交于，依题意，所求椭圆的方程为 

（Ⅱ） 椭圆方程为，设

则有，

在直线的方程中，令，整理得

           ①

同理，     ②

①②，并将代入得

===.

而=   

∵且，∴

∴

点评：本题考查直线与圆锥曲线的位置关系，考查椭圆的标准方程，考查数形结合思想，考查学生的运算能力、分析问题解决问题的能力，难度较大．

（I）当且仅当时，取到最大值．

（II）直线的方程是

或或，或。

（Ⅰ）解：设点的坐标为，点的坐标为，

由，解得，

所以

．

当且仅当时，取到最大值．

（Ⅱ）解：由

得，

，

．           ②

设到的距离为，则

，

又因为，

所以，代入②式并整理，得

，

解得，，代入①式检验，，

故直线的方程是

或或，或．

所求点D的轨迹方程是

1）设B（,）,C(,),BC中点为(),F(2,0)

则有

两式作差有

  (1)

F(2,0)为三角形重心，所以由，得

由得，

代入（1）得

直线BC的方程为

2)由AB⊥AC得 （2）

设直线BC方程为，得

，

 代入（2）式得

，解得或

直线过定点（0，，设D（x,y）

则

即

所以所求点D的轨迹方程是。

（1）；（2）详见解析．

试题分析：（1）由题得，，联立解这个方程组即得.（2）首先求出直线MN的方程.由于MN过点P（1，1），故只要求出MN的斜率即可.又由于MN平行AB，故先求出直线AB的斜率.设，则.由可得点C的坐标，由可得点D的坐标，将A、B、C、D的坐标代入椭圆方程得四个等式，利用这四个等式可整体求出，然后求出直线MN的方程，与椭圆方程联立可求得MN的中点坐标即为点P的坐标，从而问题得证 .

（1）由题得，，联立 解得，，，

∴椭圆方程为              4分

（2）方法一：设，由可得.

∵点在椭圆上，故

整理得：          6分

又点在椭圆上可知，

故有   ①

由，同理可得：     ②

②-①得：，即              9分

又∥，故

∴直线的方程为：，即.

由可得：

∴是的中点，即点平分线段              12分

（2）方法二：∵，，∴，即

在梯形中，设中点为，中点为，

过作的平行线交于点

∵与面积相等，∴

∴，，三点共线            6分

设，

∴，，

两式相减得 ，

显然，（否则垂直于轴，因不在轴上，此时不可能垂直于轴保持与平行）且（否则平行于轴或经过原点，此时，，三点不可能共线）

∴

设直线斜率为，直线斜率为

∴，即    ①

设直线斜率为，直线斜率为

同理，，又，∴即三点共线    8分

∴四点共线，∴，代入①得           9分

∴直线的方程为  即

联立得

∴点平分线段                12分

（1）(ⅰ）；（ⅱ） ；（2）. 四边形面积的最小值为.

试题分析：（1）(ⅰ)由题意，,再结合解出的值从而得到椭圆的标准方程；(ⅱ)由条件“动圆过点，且与直线相切”知动圆圆心到定点的距离等于到定直线的距离，且定点不在定直线上，所以动圆圆心的轨迹是以为焦点，以为准线的抛物线；

（2）由题设知直线和直线互相垂直相交于点，且分别与物抛线有两个交点，因此两直线的斜率均存在且不为零，所以解决问题的基本思路是以其中一条直线的斜率为自变量，利用直线与抛物线相交的位置关系，将四边形的面积表示成直线斜率的函数，转化为函数的最值问题.

试题解析：（1）(ⅰ)由已知可得 

则所求椭圆方程                                                 3分

(ⅱ)由已知可得动圆圆心的轨迹为抛物线，且抛物线 的焦点为 ，准线方程为 ，则动圆圆心轨迹方程为                                                         6分

（2）由题设知直线 的斜率均存在且不为零

设直线的斜率为, 则直线的方程为： 

联立

消去 可得                                     8分

由抛物线这义可知：

                     10分

同理可得                                                     11分

又（当且仅当时取到等号)

所以四边形面积的最小值为.                           14分

(1) +=1   (2) k=±

解:(1)设F(-c,0),由=,知a=c.

过点F且与x轴垂直的直线为x=-c,

代入椭圆方程有+=1,

解得y=±,

于是=,解得b=,

又a2-c2=b2,从而a=,c=1,

所以椭圆的方程为+=1.

(2)设点C(x1,y1),D(x2,y2),

由F(-1,0)得直线CD的方程为y=k(x+1).

由方程组消去y,整理得(2+3k2)x2+6k2x+3k2-6=0,

则x1+x2=-,x1x2=.

因为A(-,0),B(,0),

所以·+·=(x1+,y1)·(-x2,-y2)+(x2+,y2)·(-x1,-y1)=6-2x1x2-2y1y2=6-2x1x2-2k2(x1+1)(x2+1)

=6-(2+2k2)x1x2-2k2(x1+x2)-2k2=6+.

由已知得6+=8,解得k=±.