热门试卷

（1）由题意可设椭圆方程为+=1(a＞b＞0)，----------------------（2分）

由左焦点为F1（-3，0），右准线方程为x=，得----------------------（4分）

解得：从而b=4．----------------------（6分）

所以所求椭圆标准方程为+=1．----------------------（8分）

（2）①当∠PF2F1=90°时由（1）可知右焦点为F2（3，0），所以此时P点坐标为(3，)，

于是△PF1F2的面积为S△PF1F2=×6×=，----------------------（12分）

②当∠F2PF1=90°时，由椭圆定义和勾股定理得，

（2）式的平方减去（1）式得PF1•PF2=32，但PF1•PF2≤()2=25，所以这种情况不存在．

综合①②得S△PF1F2=．----------------------（16分）

（1）由题意：一条切线方程为：x=2，设另一条切线方程为：y-4=k（x-2）．．（2分）

则：=2，解得：k=，此时切线方程为：y=x+

切线方程与圆方程联立，可得x2+（x+）2=4，从而可得x=-，y=，

则直线AB的方程为x+2y=2…．（4分）

令x=0，解得y=1，∴b=1；令y=0，得x=2，∴a=2

故所求椭圆方程为+y2=1…．（6分）

（2）联立整理得(1+4k2)x2+8kx+8=0，

令P（x1，y1），Q（x2，y2），则x1+x2=，x1x2=，

△=(8k)2-32(1+4k2)＞0，即：2k2-1＞0…．．（8分）

又原点到直线l的距离为d=，|PQ|=|x1-x2|，…．．（10分）

∴S△OPQ=|PQ|•d=|x1-x2|==2•

=2•=2•≤1

当且仅当k=时取等号，则△OPQ面积的最大值为1．            …．．（12分）

（1）由题意，可设椭圆的标准方程为+=1，则

∵右焦点坐标是（2，0），经过点( -2 ，- )

∴c2=a2-b2=4，+=1，

解得a2=8，b2=4．

椭圆的标准方程为+=1；                     …（6分）

（2）椭圆+=1的焦点坐标为（0，±5），

双曲线-=1的渐近线方程为y=±x，

由题意可设双曲线的标准方程为-=1，

则c2=a2+b2=25，=，

解得a2=16，b2=9．双曲线的标准方程为-=1

（本小题满分10分）

（1）∵椭圆C短轴的一个端点为（0，1），

∴椭圆的焦点在x轴上，b=1，…（2分）

∵e==，=，∴得a=3，…（3分）

所以其标准方程是：+y2=1．…（4分）

（2）联立方程组，消去y得，10x2+36x+27=0．…（5分）

△=362-4×10×27＞0

设A（x1，y1），B（x2，y2），x1+x2=-，x1x2=，…（7分）

所以|AB|=•=．…（10分）

（I）由题意知，4a=8，所以a=2．

因为e=，

所以==1-e2=，

所以b2=3．

所以椭圆C的方程为+=1．

（II）由题意，当直线AB的斜率不存在，此时可设A（x0，x0），B（x0，-x0）．

又A，B两点在椭圆C上，

所以+=1，x02=．

所以点O到直线AB的距离d==．

当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y=kx+m．

由消去y得（3+4k2）x2+8kmx+4m2-12=0．

由已知△＞0，设A（x1，y1），B（x2，y2）．

所以x1+x2=-，x1x2=．

因为OA⊥OB，所以x1x2+y1y2=0．

所以x1x2+（kx1+m）（kx2+m）=0，即(k2+1)x1x2+km(x1+x2)+m2=0．

所以(k2+1)-+m2=0．

整理得7m2=12（k2+1），满足△＞0．

所以点O到直线AB的距离d===为定值．

（1）由题意可得：曲线经过一点(，)，

所以+=1(b＞0)，

解得：b=1．（4分）

（2）根据+=1(b＞0)得x2=4(1-)（5分）

所以x2+2y=4(1-)+2y=-(y-)2++4(-b≤y≤b)（7分）

当≥b时，即b≥4时(x2+2y)max=2b+4，

当≤b时，即0≤b≤4时(x2+2y)max=+4

∴(x2+2y)max=（10分）

（2）不能；                                                 （11分）

如再加条件xy＜0就可使x、y之间建立函数关系，（12分）

并且解析式y=．（14分）

（1）设椭圆方程为+=1（a＞b＞0），…（1分）

则c=，=，…（2分）∴a=2，b2=a2-c2=1…（3分）

∴所求椭圆方程为+y2=1．…（4分）

（2）由，消去y，得5x2+8mx+4（m2-1）=0，…（6分）

则△=64m2-80（m2-1）＞0得m2＜5（*）

设P（x1，y1），Q（x2，y2），则x1+x2=-，x1x2=，y1-y2=x1-x2，…（7分）

|PQ|===2…（9分）

解得.m2=，满足（*）

∴m=±．…（10分）

（3）设能构成等腰直角三角形ABC，其中B（0，1），由题意可知，直角边BA，BC不可能垂直

或平行于x轴，故可设BA边所在直线的方程为y=kx+1（不妨设k＜0），则BC边所在直线的方

程为y=-x+1，由，得A(-，-+1)，…（11分）

∴|AB|==，…（12分）

用-代替上式中的k，得|BC|=，

由|AB|=|BC|，得|k|（4+k2）=1+4k2，…（13分）

∵k＜0，

∴解得：k=-1或k=，

故存在三个内接等腰直角三角形．…（14分）

设椭圆的方程为+=1，双曲线得方程为-=1，半焦距c=

由已知得：a1-a2=4，：=3：7，

解得：a1=7，a2=3；所以：b12=36，b22=4，

所以两条曲线的方程分别为：+=1，-=1