热门试卷

（Ⅰ）由已知椭圆C的离心率e=，a=2，可得 c=，

所以b2=a2-c2=1，

∴椭圆的方程为+y2=1．

（Ⅱ）设直线AB方程为：y=-x+b，

由，得x2-2bx+2b2-2=0，△=4b2-4（2b2-2）＞0，即b2＜2①，

设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=2b，所以线段AB中点横坐标为x==b，代入y=-x+b，得y=b，

由中点在直线y=2x+m上，得b=2b+m，即b+m=0②，

联立①②解得-＜m＜．

故所求实数m的取值范围为：-＜m＜．

（Ⅰ）由题意有，解得

∴椭圆的方程为+=1

（Ⅱ）设M（x1，y1），N（x2，y2），由⇒（3+4k2）x2+8kmx+4m2-12=0

∵直线y=kx+m与椭圆有两个交点

∴△=（8km）2-4（3+4k2）（4m2-12）＞0，即m2＜4k2+3

又x1+x2=-∴MN中点P的坐标为(-，)

设MN的垂直平分线l'方程：y=-(x-)

∵p在l'上∴=-(--)

即4k2+8km+3=0∴m=-(4k2+3)

将上式代入得＜4k2+3∴k2＞

即k＞或k＜-∴k的取值范围为(-∞，-)∪(，+∞)．

（I）设M（x，y），由题意D（x，0），P（x，y1）

∵|DP|=|DM|，∴|y1|=|y|

∵P（x，y1）在圆x2+y2=4上，∴x2+y12=4

∴x2+2y2=4

∴点M的轨迹C的方程为+=1(x≠±2)；

（Ⅱ）假设存在N（n，0）

AB斜率存在时，设A（x1，y1），B（x2，y2），AB方程：y=k（x+1），

代入椭圆方程得：（2k2+1）x2+4k2x+2k2-4=0，∴x1+x2=-，x1x2=

∵=(x1-n，y1)，=(x2-n，y2)，

∴•=（x1-n，y1）•（x2-n，y2）=（1+k2）x1x2+(k2-n)(x1+x2)+k2+n2=(2n2+4n-1)-

∵•是与k无关的常数，

∴2n+=0

∴n=-，即N（-，0），此时•=-

当直线AB与x垂直时，n=-时•=-

综上所述，在x轴上存在定点N（-，0），使•为常数．

（1）设椭圆的方程为：+=1(a＞b＞0)，

由题意得=，a=2，所以c=，

又b2=a2-c2=1，

所以椭圆的方程为：+y2=1；

（2）①当直线l不垂直于x轴时，设AB：y=kx+m，A（x1，y1）B（x2，y2），

由，得（1+4k2）x2+8kmx+4（m2-1）=0，x1+x2=-，x1x2=，

•=(x^+2)(x2+2)+y1y2=(1+k2)x1x2+(2+km)(x1+x2)+m2+4=(1+k2)+(2+km)+m2+4=0，

∴12k2+5m2-16km=0，即（6k-5m）（2k-m）=0，解得m=k或m=2k，

当m=k时，AB：y=kx+k恒过定点(-，0)；

当m=2k时，AB：y=kx+2k恒过定点（-2，0），不符合题意舍去；

②当直线l垂直于x轴时，直线AB：x=-，则AB与椭圆C相交于A(-，-)，B(-，)，

∴•=(，-)•(，)=()2+(-)()=0，∵PA⊥PB，满足题意，

综上可知，直线AB恒过定点，且定点坐标为(-，0)．

（Ⅰ） 设椭圆C的标准方程为+=1．

∵=，c=2，a2=b2+c2∴a2=9，b2=5…（4分）

所以椭圆C的标准方程为+=1．…（6分）

（Ⅱ）由（Ⅰ）知椭圆C长轴的端点坐标分别为（-3，0），（3，0）．

∴双曲线的焦点坐标分别为（-3，0），（3，0），∴c′=3…（7分）

又∵e=，则得a′=2…（8分）

由c′2=a′2+b′2得 b′2=5…（10分）

∴双曲线的标准方程为-=1…（12分）

（1）设椭圆方程为+=1(a＞b＞0)，则c=，=，（4分）

∴a=2，b=1，所求椭圆方程+y2=1．（5分）

（2）由，消去y，得5x2+8mx+4（m2-1）=0，

则△＞0得m2＜5（*）

设P（x1，y1），Q（x2，y2），则x1+x2=-，x1x2=y1-y2=x1-x2，（8分）

|PQ|==2

解得．m=±，满足（*）

∴m=±．

①若焦点在x轴，设椭圆的方程为+=1（a＞b＞0），

依题意，a=3，b=1，

∴椭圆的方程为+y2=1；

②若焦点在y轴，设椭圆的方程为+=1（a＞b＞0），

依题意，a=9，b=3，

∴椭圆的方程为+=1．

∴椭圆的标准方程为+y2=1或+=1．