热门试卷

（1）∵抛物线y2=8x的焦点坐标为F（2，0）

∴椭圆+=1（m＞0，n＞0）的右焦点为F（2，0），可得m2-n2=4…①

∵椭圆的离心率e==，∴=…②

联解①②，得m2=16，n2=12

∴该椭圆的标准方程为+=1；

（2）∵椭圆+=1经过点A的纵坐标为4

∴设A（t，4），可得+=1，解之得t=±，A（±，4）

∵椭圆+=1的焦点为（0，±3），双曲线与椭圆+=1有相同的焦点，

∴双曲线的焦点为（0，±3），因此设双曲线方程为-=1（0＜k＜9）

将点A（±，4）代入，得-=1，解之得k=4（舍负）

∴双曲线方程为-=1

∵c1：y2=4mx的右焦点F2（m，0）

∴椭圆的半焦距c=m，又e=，

∴椭圆的长半轴的长a=2m，短半轴的长b=m．

椭圆方程为+=1．

（1）当m=1时，故椭圆方程为+=1，（3分）

（2）依题意设直线l的方程为：x=ky+1，k∈R

联立得点P的坐标为P(，)．

将x=ky+1代入y2=4x得y2-4ky-4=0．

设A1（x1，y1）、A2（x2，y2），由韦达定理得y1+y2=4k，y1y2=-4．

又=(x1-，y1-)，=(x2-，y2-)．

•=x1x2-(x1+x2)++y1y2-(y1+y2)+

=-

=-．

∵k∈R，于是•的值可能小于零，等于零，大于零．

即点P可在圆内，圆上或圆外．（8分）

（3）假设存在满足条件的实数m，

由解得：P(m，m)．

∴|PF2|=m+m=m，|PF1|=4m-|PF2|=m，又|F1F2|=2m=m．

即△PF1F2的边长分别是m、m、m．

∴m=3时，能使△PF1F2的边长是连续的自然数．（14分）

（1）∵以椭圆短轴的一个顶点B与两个焦点F1，F2为顶点的三角形周长是4+2，且∠BF1F2=．

∴2a+2c=4+2，a=c，

∴a=2，c=

∴b==1

∴椭圆方程为+y2=1．

（2）当直线l的斜率不存在时，过点Q（1，）引曲线C的弦AB不被点Q平分；

当直线l的斜率为k时，l：y-=k（x-1）与椭圆方程联立，消元可得（1+4k2）x2-4k（2k-1）x+（1-2k）2-4=0

∵过点Q（1，）引曲线C的弦AB恰好被点Q平分，

∴=2，

∴解得k=-．

∵+＜1

∴点Q在椭圆内

∴直线l：y-=-（x-1），即l：y=-x+1．

（Ⅰ）依题意知，半焦距c=2，由点M（2，1）在椭圆C上，得|MF2|=1，|MF1|=7；∴2a=|MF1|+|MF2|=8；∴a=4，∴b2=a2-c2=4；所以，椭圆C的方程为：+=1．

（Ⅱ）设PQ的中点为R，直线l的方程为y=-x+m；

由，得5x2-8mx+4m2-16=0（*）；

要使l与椭圆C相交于不同的P、Q两点，则有△＞0；

∴△=（-8m）2-4×5（4m2-16）=16（-m2+20）＞0，

化简，得|m|＜2．  ①

由（*）知：xR==m，yR=-xR+m=m．

且|BP|=|BQ|，所以BR⊥PQ，即kRQ•（-1）=-1；

所以==1，解得m=-．

因为＜2，所以m=-适合①． 

所以存在满足条件的直线l；y=-x-．

（1）易知双曲线-y2=1的焦点为（-2，0），（2，0），离心率为，

则在椭圆C中a=2，e=，故在椭圆C中c=，b=1，∴椭圆C的方程为+y2=1．

（2）①设M（x0，y0）（x0≠±2），由题易知A（-2，0），B（2，0），则kMA=，kMB=，

∴kMA•kMB=×=，

∵点M在椭圆C上，∴+=1，即=1-=-(-4)，故kMA•kMB=-，即直线MA，MB的斜率之积为定值．    

②设P（4，y1），Q（4，y2），则kMA=kPA=，kMB=kBQ=，

由①得×=-，即y1y2=-3，当y1＞0，y2＜0时，|PQ|=|y1-y2|≥2=2，当且仅当y1=，y2=-时等号成立．

同理，当y1＜0，y2＞0时，当且仅当y1=-，y2=时，|PQ|有最小值2．

（1）在△PAB中，由余弦定理，有22=a2+b2-2abcosC，|a+b|==2=2＞2，

所以，点P的轨迹C是以A，B为焦点，长轴长2a=2的椭圆．（除去长轴上的顶点）

如图，以A、B所在的直线为x轴，以A、B的中点为坐标原点建立直角坐标系．

则，A（-1，0）和B（1，0）．

椭圆C的标准方程为：+=1（y≠0）．

（2）设M（x1，y1），N（x2，y2），

①当MN垂直于x轴时，MN的方程为x=1，由题意，有M（1，1），N（1，-1）在椭圆上．

即+=1⇒λ=，由λ＞0，得λ=．

②当MN不垂直于x轴时，设MN的方程为y=k（x-1）．

由得：[λ+（1+λ）k2]x2-2（1+λ）k2x+（1+λ）（k2-λ）=0，

由题意知：λ+（1+λ）k2＞0，

所以x1+x2=，x1•x2=．

于是：y1•y2=k2(x1-1)(x2-1)=k2[x1x2-(x1+x2)+1]=．

因为OM⊥ON，所以•=0，

所以x1•x2+y1•y2==0，

所以，k2=≥0，

由λ＞0得1+λ-λ2＞0，解得0＜λ＜．

综合①②得：0＜λ≤．

（1）∵椭圆C：+=1(a＞b＞0)的离心率e=，

左右两个焦分别为F1，F2．过右焦点F2且与轴垂直的直线与椭圆C相交M、N两点，且|MN|=2，

∴，解得a=2，b=，c=，

∴椭圆C的方程为+=1．

（2）∵椭圆C的方程为+=1，椭圆C的一个顶点为B（0，-b），

∴B（0，-），

若存在存在直线l：y=x+m，使点B关于直线l的对称点B′落在椭圆C上，

则直线BB′过点B（0，-），且BB′⊥l，直线l垂直平分线段BB′，

∴直线BB′的方程为：y+=-x，即x+y+=0，

联立，解得B（0，-），B′（-，），

∵直线l：y=x+m垂直平分线段BB′，

∴直线l：y=x+m过BB′的中点（-，-），

∴m=-+=．

∴直线l的方程为y=x+．