热门试卷

（1）由x+ky-3=0得，（x-3）+ky=0，

所以直线过定点（3，0），即F为（3，0）．

设椭圆C的方程为+=1（a＞b＞0），

则解得

故所求椭圆C的方程为+=1．

（2）因为点P（m，n）在椭圆C上运动，所以+=1．

从而圆心O到直线l的距离

d===＜1．

所以直线l与圆O恒相交．

又直线l被圆O截得的弦长

L=2=2=2，由于0≤m2≤25，

所以16≤m2+16≤25，则L∈[，]，

即直线l被圆O截得的弦长的取值范围是[，]．

（Ⅰ）以AB中点为原点O，AB所在直线为x轴，建立直角坐标系，如图

则A（-1，0）B（1，0）D（-1，）

设椭圆F的方程为+=1，(a＞b＞0)

得

得4a4-17a2+4=0∴a2=4，，b2=3

所求椭圆F方程+=1

（Ⅱ）若存在这样的直线l，依题意，l不垂直x轴

设l方程y-=k(x-1)

代入+=1，得(3+4k2)x2+8k(-k)x+4(k-

1

2

)2-12=0

设M（x1，y1）、N（x2，y2）有=1

得=2，得，k=-

又∵，点C(1，)在椭圆+=1内部

故所求直线l方程y=-x+2

当椭圆焦点在x轴时，设椭圆方程为+=1，

将点A（2，-6）代入，得：+=1，

解得b2=37，

∴椭圆方程为+=1．

离心率e==．

当焦点在y轴时，设椭圆方程为+=1，

将点A（2，-6）代入，得：+=1

解得b2=13，

∴椭圆方程为+=1．

离心率e==．

（Ⅰ）∵抛物线y2=8x的焦点F（2，0）

∴a=2

∵e==

∴c=1

∴b2=a2-c2=3

∴椭圆M的标准方程：+=1（4分）

（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），设l：x=my+1（m∈R，m≠0）

联立方程可得（3m2+4）y2+6my-9=0

由韦达定理得y1+y2=-①（6分）

∵(+)⊥

∴|NA|=|NB|

∴(x1-t)2+y12=(x2-t)2+y22

∴(x1-x2)(x1+x2-2t)+(y12-y22)=0

将x1=my1+1，x2=my2+1代入上式整理得：(y1-y2)[(m2+1)(y1+y2)+m(2-2t)]=0，

由y1≠y2知（m2+1）（y1+y2）+m（2-2t）=0，将①代入得t=（10分）

所以实数t∈(0，)（12分）

（1）设椭圆C的方程为+=1（a＞b＞0），

抛物线方程化为x2=4y，其焦点为（0，1）

则椭圆C的一个顶点为（0，1），即b=1

由e===，∴a2=5，

所以椭圆C的标准方程为+y2=1

（2）证明：易求出椭圆C的右焦点F（2，0），

设A（x1，y1），B（x2，y2），M（0，y0），显然直线l的斜率存在，

设直线l的方程为y=k（x-2），代入方程+y2=1并整理，

得（1+5k2）x2-20k2x+20k2-5=0

∴x1+x2=，x1x2=

又，=(x1，y1-y0)，=(x2，y2-y0)，

=(2-x1，-y1)，=(2-x2，-y2)，而=λ1，=λ2，

即（x1-0，y1-y0）=λ1（2-x1，-y1），（x2-0，y2-y0）=λ2（2-x2，-y2）

∴λ1=，λ2=，

所以λ1+λ2=+==-10

（Ⅰ）∵椭圆的长轴A1A2与x轴平行，短轴B1B2在y轴上，中心M（0，r），

∴椭圆方程为+=1

焦点坐标为F1(-，r)，F2(，r)

离心率e=

（Ⅱ）证明：将直线CD的方程y=k1x代入椭圆方程+=1，得b2x2+a2(k1x-r)2=a2b2

整理得(b2+a2k12)x2-2k1a2rx+(a2r2-a2b2)=0

根据韦达定理，得x1+x2=，x1x2=，

所以  =①

将直线GH的方程y=k2x代入椭圆方程+=1，同理可得=②

由 ①、②得   ==

所以结论成立

（Ⅲ）证明：设点P（p，0），点Q（q，0）

由C、P、H共线，得   =

解得   p=

由D、Q、G共线，同理可得   =

∴q=

由=变形得-=

所以|p|=|q|

即|OP|=|OQ|

由题意可知10-m=1+b，+=1，-=1，

解得，m=1，b=8，

所以椭圆的方程为+y2=1；

双曲线的方程为x2-=1．