椭圆_章节学习_百度题库

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题型：简答题

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简答题

已知椭圆＋＝1（a>b>0)上的点M (1, )到它的两焦点F1，F2的距离之和为4，A、B分别是它的左顶点和上顶点。

(Ⅰ)求此椭圆的方程及离心率；

(Ⅱ)平行于AB的直线l与椭圆相交于P、Q两点，求|PQ|的最大值及此时直线l的方程。

正确答案

解：

本试题主要是考查椭圆的方程和椭圆的几何性质，以及直线与椭圆的位置关系的综合运用。联立方程组，结合韦达定理求解和运算。

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题型：简答题

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简答题

（本小题满分12分）

已知椭圆经过点M（-2，-1），离心率为。过点M作倾斜角

互补的两条直线分别与椭圆C交于异于M的另外两点P、Q。

（I）求椭圆C的方程；

（II）能否为直角？证明你的结论；

（III）证明：直线PQ的斜率为定值，并求这个定值。

正确答案

解：

（Ⅰ）由题设，得＋＝1， ①

且＝， ②

由①、②解得a2＝6，b2＝3，

椭圆C的方程为＋＝1．………………………………………………………4分

（Ⅱ）记P(x1，y1)、Q(x2，y2)．

设直线MP的方程为y＋1＝k(x＋2)，与椭圆C的方程联立，得

(1＋2k2)x2＋(8k2－4k)x＋8k2－8k－4＝0，

－2，x1是该方程的两根，则－2x1＝，x1＝．

设直线MQ的方程为y＋1＝－k(x＋2)，

同理得x2＝．…………………………………………………………8分

因y1＋1＝k(x1＋2)，y2＋1＝－k(x2＋2)，

因此直线PQ的斜率为定值．……………………………………………………12分

略

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题型：填空题

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填空题

在平面直角坐标系中,若方程所表示的曲线是椭圆，则实数m的取值范围是___________

正确答案

略

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题型：简答题

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简答题

（本小题满分12分）

设、分别是椭圆的左、右焦点.

（Ⅰ）若是该椭圆上的一个动点，求·的最大值和最小值;

（Ⅱ）设过定点的直线与椭圆交于不同的两点、，且∠为锐角（其中为坐标原点），求直线的斜率的取值范围.

正确答案

解法二：易知，所以，设，则

（以下同解法一）

（Ⅱ）显然直线不满足题设条件，可设直线，

又

∵，即 ∴

故由①、②得或

略

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题型：填空题

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填空题

以椭画的右焦点F为圆心,并过椭圆的短轴端点的圆的方程为_

正确答案

略

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题型：简答题

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简答题

椭圆E的中心在原点O，焦点在x轴上，离心率e=，过点C(-1，0)的直线交椭圆于A，B两点，且满足，为常数。

（1）当直线的斜率k=1且时，求三角形OAB的面积.

（2）当三角形OAB的面积取得最大值时，求椭圆E的方程.

正确答案

（1）

（2）

（1）

（2），故椭圆为：①

且②，把代入椭圆方程得：

∴③ ④

∴

由②③知道

∴

⑵

当且仅当时，即时，S取得最大值。

将代入③④得，

∴

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题型：填空题

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填空题

已知点为椭圆的左准线与轴的交点.若线段的中点在椭圆上，则该椭圆的离心率为

正确答案

略

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题型：简答题

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简答题

已知椭圆的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线相切，过点P（4，0）且不垂直于x轴直线与椭圆C相交于A、B两点。

（1）求椭圆C的方程；

（2）求的取值范围；

（3）若B点在于x轴的对称点是E，证明：直线AE与x轴相交于定点。

正确答案

(1)解：由题意知，∴，即

又，∴

故椭圆的方程为 2分

(2)解：由题意知直线l的斜率存在，设直线l的方程为

由得： 4分

由得：

设A(x1，y1)，B (x2，y2)，则　　① 6分

∴

略

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题型：填空题

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填空题

椭圆的离心率为，若直线与其一个交点的横坐标为，则的值为

正确答案

略

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题型：简答题

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简答题

直角三角形的直角顶点为动点，，为两个定点，作于，动点满足，当点运动时，设点的轨迹为曲线，曲线与轴正半轴的交点为．

(Ⅰ) 求曲线的方程；

(Ⅱ) 是否存在方向向量为m的直线，与曲线交于，两点，且与的夹角为？若存在，求出所有满足条件的直线方程；若不存在，说明理由．

正确答案

（Ⅰ）曲线的方程为；（Ⅱ）存在满足条件的直线．

（I）由题意知，点在以为直径的圆上，且除去两点．

即点坐标满足方程：．

设点，，则，　　①

由知，，即．代入①式

得　，即，曲线的方程为．

（II）由（I）知，点，假设直线存在，可设，设，不妨令，则由得．

，，，

． ,

则

，

则，即，，解得或．

当时，向量与的夹角为，不合题意舍去；

当时，向量与的夹角为，符合题意．

综上，存在满足条件的直线．

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