椭圆_章节学习_百度题库

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题型：简答题

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简答题

已知椭圆C的焦点是F1(-，0)、F2(，0)，点F1到相应的准线的距离为，过点F2且倾斜角为锐角的直线ℓ与椭圆C交于A、B两点，使|F2B|=3F2A|．

（1）求椭圆C的方程；

（2）求直线ℓ的方程．

正确答案

（1）设椭圆C的方程为+=1 (a＞b＞0)，

则由已知得：c=， =

∴b2=1，a2=b2+c2=4

∴+y2=1为所求．

（2）由椭圆方程知：e=，设A（x1，y1），B（x2，y2）

则|AF2|=a-ex1=2-x1，

|BF2|=a-ex2=2-x2，

由3|AF2|=|BF2|

得3(2-x1)=2-x2，

∴3x1-x2= ①

又F2分所成的比λ=3

∴=，即3x1+x2=4 ②

由①，②得：x1=，x2=，

∴B(，-)

∴ℓ：y=(x-)

即x-y-=0．

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题型：简答题

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简答题

已知A(4，)，B(x1，y1)，C(x2，y2)三点在椭圆+=1上，△ABC的重心与此椭圆的右焦点F（3，0）重合

（1）求椭圆方程

（2）求BC的方程．

正确答案

（1）由题意：⇒，故椭圆方程为：+=1

（2）设B（x1，y1），C（x2，y2），由题意有：=3，=0，故x1+x2=5，y1+y2=-，又+=1，+=1，两式作差可得：+=0．

即：kBC==-•=，

故直线BC的方程为：y-=(x-)，

即：40x-30y-136=0．

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题型：简答题

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简答题

已知F1（-c，0），F2（c，0）是椭圆+=1(a＞b＞0)的左、右焦点，过点F1作倾斜角为的直线l交椭圆于A，B两点，=(2-)．

（1）求椭圆的离心率；

（2）若|AB|=3，求椭圆的标准方程．

正确答案

（1）直线l的方程为x=y-c，

由，

消去x得，（a2+b2）y2-2b2cy-b4=0

设A（x1，y1），B（x2，y2），

则y1+y2=①，

y1y2=②，

又由=(2-)，

得=-(2-)③，

由①②得=++2==-2，

∴a2+b2=2c2，a2=3b2，

∴2a2=3c2，

∴e=．

（2）|AB|=|y1-y2|

=×==a=3，

∴b2=3

∴椭圆标准方程为+=1．

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题型：填空题

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填空题

设AB是椭圆Γ的长轴，点C在Γ上，且∠CBA=，若AB=4，BC=，则Γ的两个焦点之间的距离为______．

正确答案

如图，设椭圆的标准方程为+=1，

由题意知，2a=4，a=2．

∵∠CBA=，BC=，∴点C的坐标为C（-1，1），

因点C在椭圆上，∴+=1，

∴b2=，

∴c2=a2-b2=4-=，c=，

则Γ的两个焦点之间的距离为．

故答案为：．

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题型：简答题

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简答题

曲线C1，C2都是以原点O为对称中心、离心率相等的椭圆．点M的坐标是（0，1），线段MN是C1的短轴，是C2的长轴．直线l：y=m（0＜m＜1）与C1交于A，D两点（A在D的左侧），与C2交于B，C两点（B在C的左侧）．

（Ⅰ）当m=，|AC|=时，求椭圆C1，C2的方程；

（Ⅱ）若OB∥AN，求离心率e的取值范围．

正确答案

（Ⅰ）设C1的方程为+y2=1，C2的方程为+y2=1，其中a＞1，0＜b＜1…（2分）

∵C1，C2的离心率相同，所以=1-b2，

所以ab=1，…．…（3分）

∴C2的方程为a2x2+y2=1．

当m=时，A(-，)，C(，)…．（5分）

又∵|AC|=，所以，+=，解得a=2或a=（舍），…．…..（6分）

∴C1，C2的方程分别为+y2=1，4x2+y2=1．…．（7分）

（Ⅱ）A（-a，m），B（-，m）． …（9分）

∵OB∥AN，∴kOB=kAN，

∴=，

∴m=． …．（11分）

e2=，

∴a2=，

∴m=． …（12分）

∵0＜m＜1，

∴0＜＜1，

∴＜e＜1…（13分）

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题型：简答题

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简答题

P为椭圆+=1上一点，F1、F2为左右焦点，若∠F1PF2=60°

（1）求△F1PF2的面积；

（2）求P点的坐标．

正确答案

∵a=5，b=3

∴c=4（1）

设|PF1|=t1，|PF2|=t2，

则t1+t2=10①t12+t22-2t1t2•cos60°=82②，

由①2-②得t1t2=12，

∴S△F1PF2=t1t2•sin60°=×12×=3

（2）设P（x，y），由S△F1PF2=•2c•|y|=4•|y|得4|y|=3

∴|y|=⇒y=±，将y=±代入椭圆方程解得x=±，∴P(，)或P(，-)或P(-，)或P(-，-)

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题型：简答题

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简答题

已知直线l：6x-5y-28=0交椭圆+=1(a＞b＞0)于M，N两点，B（0，b）是椭圆的一个顶点，且b为整数，

而△MBN的重心恰为椭圆的右焦点F2．

（1）求此椭圆的方程；

（2）设此椭圆的左焦点为F1，问在椭圆上是否存在一点P，使得∠F2PF1=60°？并证明你的结论．

正确答案

解（1）设M（x1，y1），N（x2，y2），

则b2x12+a2y12=a2b2，b2x22+a2y22=a2b2，

两式相减得=-=-①，

由=c，=0，得x1+x2=3c，y1+y2=-b，代入①

得2b2-5bc+2c2=0⇒2b=c或b=2c②；

∵M、N在直线L上，得6（x1+x2）-5（y1+y2）=56⇒18c+5b=56③；

由②③解得（b为整数）：b=4，c=2，a2=20，

因此椭圆方程为：+=1．

（2）证明：cos∠F1PF2=

=≥-1=＞，

∴∠F1PF2＜60°，

∴使∠F1PF2=60°的点P不存在．

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题型：简答题

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简答题

已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴上，离心率为，F1、F2分别为椭圆的左、右焦点，椭圆上有一点P，∠F1PF2=，且△PF1F2的面积为3，求椭圆的方程．

正确答案

设椭圆的方程为+=1（a＞b＞0），F1（-c，0）、F2（c，0）．

因为点P在椭圆上，所以|PF1|+|PF2|=2a．…（2分）

在△PF1F2中，由余弦定理，得

|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|•|PF2|cos=（|PF1|+|PF2|）2-3|PF1|•|PF2|，

即4c2=4a2-3|PF1|•|PF2|．…（6分）

又因S△PF1F2=3，所以|PF1|•|PF2|sin=3，得|PF1|•|PF2|=12．

所以4c2=4a2-36，又e==，

故a2=25，c2=16，b2=9，

∴所求椭圆的方程为+=1．…（12分）

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题型：简答题

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简答题

选修4-4：坐标系与参数方程

椭圆中心在原点，焦点在x轴上．离心率为，点P（x，y）是椭圆上的一个动点，若2x+y的最大值为10，求椭圆的标准方程．

正确答案

离心率为，设椭圆的标准方程是+=1，它的参数方程为，（θ是参数）

∴2x+y=4ccosθ+3csinθ=5csin（θ+φ）的最大值是5c，

依题意，5c=10，c=2，

∴椭圆的标准方程是+=1．

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题型：简答题

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简答题

设F1，F2分别是椭圆：+=1(a＞b＞0)的左、右焦点，过F1倾斜角为45°的直线l与该椭圆相交于P，Q两点，且|PQ|=a．

（Ⅰ）求该椭圆的离心率；

（Ⅱ）设点M（0，-1）满足|MP|=|MQ|，求该椭圆的方程．

正确答案

（Ⅰ）由直线PQ斜率为1，可设直线l的方程为y=x+c，其中c=．…（2分）

设P（x1，y1），Q（x2，y2），则两点坐标满足方程组

消去y，整理得（a2+b2）x2+2a2cx+a2（c2-b2）=0，

可得：

∵|PQ|=a，∴|x1-x2|=a

由此可得|x1-x2|2=(x1+x2)2-4x1x2=(a)2

即（）2-4（）2=．…（6分）

整理，得a2=2b2，a=b

∴椭圆的离心率e===．…（8分）

（Ⅱ）设PQ 中点为N（x0，y0），由（1）知

x0===-，y0=x0+c=c．

由|MP|=|MQ|，得MN与直线y=x+c垂直，所以MN的斜率k=-1．…（10分）

∴=-1，即=-1，解得c=3，从而a=3，b=3．

因此，椭圆的方程为+=1…（12分）

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