椭圆_章节学习_百度题库

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题型：填空题

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填空题

已知椭圆+=1（a＞b＞0）的中心为O，右焦点为F、右顶点为A，右准线与x轴的交点为H，则的最大值为______．

正确答案

依题意得，|FA|即为该椭圆右定点与右焦点间的距离，即|FA|=|OA|-|OF|，

又∵|OA|即为椭圆的长半轴长a，|OF|即为椭圆的半焦距长c，

∴|FA|=a-c．

又∵H为椭圆的右准线与x轴的交点，故|OH|即为椭圆中心到右准线的距离，依准线的定义知，|OH|=，则 =①

又∵椭圆的离心率e=，（0＜e＜1），从而c=ae，代入①，得 ==e（1-e）=-(e-

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2

)2+（0＜e＜1），

当且仅当e=时取得最值．

故答案为：．

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题型：简答题

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简答题

已知椭圆C：+=1，(a＞b＞0)，直线（m+3）x+（1-2m）y-m-3=0（m∈R）恒过的定点F为椭圆的一个焦点，且椭圆上的点到焦点F的最大距离为3，

（1）求椭圆C的方程；

（2）若直线MN为垂直于x轴的动弦，且M、N均在椭圆C上，定点T（4，0），直线MF与直线NT交于点S．求证：

①点S恒在椭圆C上；

②求△MST面积的最大值．

正确答案

（1）直线（m+3）x+（1-2m）y-m-3=0可化为

m（x-2y-1）+3x+y-3=0，

所以，解得．

所以F（1，0）．则c=1，又a+c=3，所以a=2，则b2=a2-c2=3．

所以椭圆方程为+=1；

（2）①设直线MN的方程为x=s，M的坐标为（s，t），N的坐标为（s，-t）．

且s、t满足3s2+4t2=12．

MF的直线方程为y=(x-1)，NT的直线方程为y=(x-4)．

联立解得交点S（，），代入椭圆方程3x2+4y2=12得，

3（5s-8）2+36t2=12（2s-5）2，化简得：3s2+4t2=12．

所以点S恒在椭圆C上；

②直线MS过点F（1，0），设方程为x=my+1，M（x1，y1），S（x2，y2）．

S△MST=×3|y1-y2|=．

联立，得（3m2+4）y2+6my-9=0．

y1+y2=，y1y2=．

所以S△MST=18．

设m2+1=u（u≥1），则==．

由对勾函数可知9u+在（0，）上位减函数，（，+∞）上为增函数，

所以9u+的最小值为10．

所以S△MST≤18×=．

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题型：填空题

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填空题

已知椭圆+=1的上下两个焦点分别为F1、F2，点P为该椭圆上一点，若|PF1|，|PF2|为方程x2+2mx+5=0的两根，则m=______．

正确答案

∵|PF1|，|PF2|为方程x2+2mx+5=0的两根，

∴|PF1|+|PF2|=-2m，

∵椭圆+=1的上下两个焦点分别为F1、F2，点P为该椭圆上一点，

∴|PF1|+|PF2|=6，

∴-2m=6，m=-3．

故答案为：-3．

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题型：填空题

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填空题

已知F1、F2是椭圆+=1的两个焦点，过F1的直线与椭圆交于M、N两点，则△MNF2的周长为______．

正确答案

利用椭圆的定义可知，|F1M|+|F2M|=2a=10，|F1N|+|F2N|=2a=10

∴△MNF2的周长为|F1M|+|F2M|+F1N|+|F2N|=10+10=20

故答案为：20．

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题型：填空题

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填空题

若点P在椭圆x2+2y2=2上，F1、F2分别是椭圆的两焦点，且∠F1PF2=90°，则△F1PF2的面积是______．

正确答案

由椭圆的方程可得 a=，b=1，c=1，令|F1P|=m、|PF2|=n，

由椭圆的定义可得 m+n=2a=2①，

Rt△F1PF2 中，由勾股定理可得（2c）2=m2+n2，m2+n2=4②，由①②可得m•n=2，

∴△F1PF2的面积是m•n=1．

故答案为：1．

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题型：简答题

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简答题

已知：圆x2+y2=1过椭圆+=1(a＞b＞0)的两焦点，与椭圆有且仅有两个公共点：直线y=kx+m与圆x2+y2=1相切，与椭圆+=1相交于A，B两点记λ=•，且≤λ≤．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）求k的取值范围；

（Ⅲ）求△OAB的面积S的取值范围．

正确答案

解；（Ⅰ）由题意知，椭圆的焦距2c=2∴c=1

又∵圆x2+y2=1与椭圆有且仅有两个公共点，∴b=1，∴a=

∴圆的方程为+y2=1

（Ⅱ）∵直线y=kx+m与圆x2+y2=1相切，∴原点O到直线的距离=1，即m2=k2+1

把直线y=kx+m代入椭圆+y2=1，可得（1+2k2）x2+4kmx+2m2-2=0

设A（x1，y1），B（x1，y2），则

λ=•=x1x2+y1y2=（1+k2）x1x2+km（x1+x2）+m2

=（1+k2）-+m2

∵≤λ≤，∴≤≤，解得，≤k2≤1

∴k的取值范围是[-1，-]∪[，1]；

（Ⅲ）|AB|2=（x1-x2）2+（y1-y2）2=（1+k2）（x1-x2）2

=（1+k2）[(-

4km

2k2+1

)2-4]=（1+k2）[-]

=（1+k2）=2-

S△OAB2=|AB|2×1=（2-）

∵≤k2≤1，∴≤≤

∴≤2-≤，∴≤(2-)≤

即≤S△OAB2=≤

∴≤S△OAB≤

∴△OAB的面积S的取值范围为[，]

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题型：填空题

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填空题

已知F1、F2是椭圆+=1(a＞b＞0)的焦点，P是椭圆上一点，且∠F1PF2=90°，则椭圆的离心率e的取值范围是______．

正确答案

∵F1、F2是椭圆+=1(a＞b＞0)的焦点，

P是椭圆上一点，且∠F1PF2=90°，

∴以F1F2为直径的圆与椭圆有交点，圆的半径r=c≥b，

∴e2=≥，2e2≥1，

∴e≥，又0＜e＜1，

∴椭圆的离心率e的取值范围是[，1），

故答案为[，1）．

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题型：填空题

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填空题

直线l：x-2y+2=0过椭圆+=1的左焦点F1和一个顶点B，则椭圆的方程为 ______．

正确答案

设左焦点坐标为：（-c，0），顶点（0，b）

根据题意：

∴

∴a=

∴椭圆的方程为 +y2=1

故答案为：+y2=1

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题型：简答题

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简答题

一椭圆通过（2，3）及（-1，4）两点，中心为原点，长短轴重合于坐标轴，试求其长轴，短轴及焦点．

正确答案

设椭圆的标准方程为 + =1，由于椭圆过（2，3）及（-1，4）两点，所以，

将此两点代入标准方程可得：，

解之，a2=，b2=，

∴长轴2b=2，短轴 2a=2，

又c2=b2-a2，

∴c===2，

故焦点坐标为F1（-2，0），F2（2，0）．

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题型：简答题

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简答题

已知椭圆上两个相邻顶点为A、C，且B为椭圆上的动点，求三角形△ABC面积的最大值与最小值．

正确答案

依题意，椭圆的参数方程为（θ∈R），

∴椭圆的标准方程为 +=1

即焦点在y轴上，长轴长为10，短轴长为8

∴a=5，b=4，c=3

AC=，直线AC的方程为5x+4y-20=0

点B到直线的距离为=

∴点B到直线的距离的最大值为，最小值为0

∴三角形△ABC面积的最大值为10（+1），最小值为0

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