热门试卷

解：如图，（1）设椭圆Q：（a＞b＞0）上的点A（x1，y1）、B（x2，y2），又设P点坐标为P（x，y），

则

1°当AB不垂直x轴时，x1≠x2，

由（1）-（2）得b2（x1-x2）2x+a2（y1-y2）2y=0

∴

∴b2x2+a2y2-b2cx=0（3）；

2°当AB垂直于x轴时，点P即为点F，满足方程（3）

故所求点P的轨迹方程为：b2x2+a2y2-b2cx=0。

（2）因为，椭圆Q右准线l方程是x=，原点距l的距离为

由于c2=a2-b2，a2=1+cosθ+sinθ，b2=sinθ（0＜θ≤）

则==2sin（+）

当θ=时，上式达到最大值。

此时a2=2，b2=1，c=1，D（2，0），|DF|=1

设椭圆Q：上的点 A（x1，y1）、B（x2，y2），

三角形ABD的面积S=|y1|+|y2|=|y1-y2|

设直线m的方程为x=ky+1，代入中，得

（2+k2）y2+2ky-1=0

由韦达定理得y1+y2=，y1y2=

令t=k2+1≥1，得

当t=1，k=0时取等号

因此，当直线m绕点F转到垂直x轴位置时，三角形ABD的面积最大。

解：（1）设P（x0，y0），Q（x，y），依题意，则点D的坐标为D（x0，0）

∴

又

∴

∵P在⊙O上，故x02+y02=9

∴

∴点Q的轨迹方程为

（2）假设椭圆上存在两个不重合的两点M（x1，y1），N（x2，y2）满足，则

E（1，1）是线段MN的中点，且有

又M（x1，y1），N（x2，y2）在椭圆上

∴

两式相减，得

∴

∴直线MN的方程为4x+9y﹣13=0

将直线MN的方程代入椭圆方程检验得：

52x2﹣104x﹣155=0则△＞0有实根

∴椭圆上存在点M、N满足，

此时直线MN的方程为4x+9y﹣13=0。

解：（1）设M（x，y）是所求曲线上的任意一点，

P（）是方程的圆上的任意一点，则，

则有：，即，

代入得，轨迹C 的方程为；

（2）当直线l的斜率不存在时，与椭圆无交点，

所以设直线l的方程为y=k（x+2），与椭圆交于两点，

N点所在直线方程为，

由得（4＋），

由∴，

即，    

，

，即，

∴四边形OANB为平行四边形，

假设存在矩形OANB，

则，即，

即，

于是有，得，

设N（），由得，

即点N在直线x＝－上；

∴存在直线l使四边形OANB为矩形，直线l的方程为。

解：（Ⅰ）∵|CA|+|CB|=10为定值，

所以C点的轨迹是以A，B为焦点的椭圆，焦距2c=6，

设椭圆为方程，且2a=10，

易得a=5，c=3，b=4，

所以C点的轨迹方程为。

（Ⅱ）设M（x1，y1），N（x2，y2），

当直线MN的倾斜角不为90°时，设其方程为y=k（x+3）（k≠0），

代入椭圆方程化简，得，

显然有，

又，

同理，

所以

，

只要考虑的最小值，即考虑取最小值，

而k≠0，所以上式无最小值，

显然k=0时，取最小值16；

当直线MN的倾斜角为90°时，x1=x2=-3，

得；

∴的最小值不存在。

解：（1）由题意可知：

∴

由

得（1+2k2）x2+4kbx+2b2-2=0

∴

得k=1或k=-1（舍）

所以直线l的方程为。

（2）设A（x1，y1），B（x2，y2）

∴

根据韦达定理得：

代入上式得：。

解：（Ⅰ）设点P的坐标为（x，y），

则，

由题设当x＞2时，

由①得，

化简得；

当x≤2时，由①得，

化简得；

故点P的轨迹C是椭圆在直线x=2的右侧部分

与抛物线在直线x=2的左侧部分

（包括它与直线x=2的交点）所组成的曲线，参见图1；

（Ⅱ）如图2所示，易知直线x=2与的

交点都是，

直线AF，BF的斜率分别为，

当点P在C1上时，由②知，④

当点P在C2上时，由③知|PF|=3+x，⑤

若直线l的斜率k存在，则直线l的方程为y=k（x-3），

（1）当k≤时，

直线l与轨迹C的两个交点都在C1上，

此时由④知，

从而∣MN∣=∣MF∣+∣NF∣

=，

由得，

则是这个方程的两根，

所以*

∣MN∣=，

因为当，

，

当且仅当时，等号成立。

（2）当时，

直线l与轨迹C的两个交点分别在上，

不妨设点M在C1上，点C2上，

则④⑤知，，

设直线AF与椭圆C1的另一交点为E，

，

所以，

而点A，E都在C1上，且，

有（1）知，

若直线l的斜率不存在，则=3，

此时，；

综上所述，线段MN长度的最大值为。

解：（Ⅰ）由题设知直线PM与PN的斜率存在且均不为零，

所以，

整理得（λ≠0，x≠±1）。

（Ⅱ）①当λ＞0时，轨迹C为中心在原点，焦点在x轴上的双曲线（除去顶点）；

②当-1＜λ＜0时，轨迹C为中心在原点，焦点在x轴上的椭圆（除去长轴两个端点）；

③当λ=-1时，轨迹C为以原点为圆心，1的半径的圆除去点(-1，0)，(1，0)；

④当λ＜-1时，轨迹C为中心在原点，焦点在y轴上的椭圆（除去短轴的两个端点）。

（Ⅲ）当λ=-2时，轨迹C为椭圆（x≠±1） ，

由题意知，l的斜率存在，设l的方程为y=kx+1，

代入椭圆方程中整理，得， （*）

设，，则x1，x2的方程（*）的两个实根，

∴，，

∴

，

当k=0时，取“=”，

∴k=0时，△OAB的面积取最大值为。

解：（1）

化简得：

当时方程为 轨迹为一条直线    

当时方程为轨迹为圆

当时方程为轨迹为椭圆  

当时方程为轨迹为双曲线。      

（2）点轨迹方程为，

直线方程为，联立方程可得：

。  

由题意可知：，所以        

解：（Ⅰ）因为，

所以的中点，

设Q的坐标为（-3c，0），

因为，

所以，且过三点的圆的圆心为，半径为2c，

因为该圆与直线l相切，所以，解得c=1，

所以，

故所求椭圆方程为；

（Ⅱ）设l1的方程为y=kx+2（k＞0），

由得，

设，则，

所以

，

，

由于菱形对角线互相垂直，则，

所以，

故，

因为k＞0，所以，

所以，

即，

所以，

解得，即，

因为k＞0，所以，

故存在满足题意的点P且m的取值范围是。

（Ⅲ）①当直线l1斜率存在时，设直线l1方程为y=kx+2，

代入椭圆方程得，

由△＞0，得，

设，

则，

又，

所以，

所以，

所以，

所以，

所以，整理得，

因为，

所以，即，

所以，

解得，

又0＜λ＜1，所以；

②又当直线l1斜率不存在时，直线l1的方程为x=0，

此时，，

所以，

所以，

即所求λ的取值范围是。