椭圆_章节学习_百度题库

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题型：简答题

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简答题

已知点C为圆（x+1）2+y2=8的圆心，点A（1，0），P是圆上的动点，点Q在圆的半径CP上，且。

（1）当点P在圆上运动时，求点Q的轨迹方程；

（2）设过点（0，2）且斜率为2的直线l与（1）中所求的曲线交于B，D两点，O为坐标原点，求△BDO的面积。

正确答案

解：（1）由题意，MQ是线段AP的垂直平分线，

故|QC|+|QA|=|QC|+|QP|=|CP|

>|CA|=2

于是点Q的轨迹是以点C，A为焦点，半焦距c=1，长半轴的椭圆，短半轴

∴点O的轨迹方程是：。

（2）因直线l过点（0，2）且斜率为2，则直线l的方程为：y=2x+2，即2x-y+2=0，

故点O（0，0）到直线l的距离d=

把y=2x+2代入（1）中的方程化简，

得9x2+16x+6=0

∴Δ=162-4×9×6=40>0

设B（x1，y1），D（x2，y2），

则

∴

∴△BDO的面积为

。

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题型：简答题

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简答题

已知，椭圆C过点A(1，)，两个焦点为（-1，0），（1，0）．

（1）求椭圆C的方程；

（2）E，F是椭圆C上的两个动点，如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数，证明直线EF的斜率为定值，并求出这个定值．

正确答案

（Ⅰ）由题意，c=1，

可设椭圆方程为+=1，

解得b2=3，b2=-（舍去）

所以椭圆方程为+=1．

（Ⅱ）设直线AE方程为：y=k(x-1)+，

代入+=1得(3+4k2)x2+4k(3-2k)x+4(-k)2-12=0

设E（xE，yE），F（xF，yF），

因为点A(1，)在椭圆上，

所以xE=，yE=kxE+-k．

又直线AF的斜率与AE的斜率互为相反数，

在上式中以-K代K，可得xF=，yF=-kxF++k

所以直线EF的斜率KEF===

即直线EF的斜率为定值，其值为．

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题型：简答题

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简答题

已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为，且经过点M（4，1），直线l：y=x+m交椭圆于不同的两点A，B，

（1）求椭圆的方程；

（2）求m的取值范围。

正确答案

解：（1），

∴，

依题意设椭圆方程为：，

把点（4，1）代入得，

∴椭圆方程为。

（2）把y=x+m代入椭圆方程得：，

由△＞0，可得。

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题型：简答题

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简答题

如图，已知椭圆的长轴A1A2与x轴平行，短轴B1B2在y轴上，中心M（0，r）（b＞r＞0

（Ⅰ）写出椭圆方程并求出焦点坐标和离心率；

（Ⅱ）设直线y=k1x与椭圆交于C（x1，y1），D（x2，y2）（y2＞0），直线y=k2x与椭圆交于G（x3，y3），H（x4，y4）（y4＞0）．求证：；

（Ⅲ）对于（Ⅱ）中的在C，D，G，H，设CH交x轴于P点，GD交x轴于Q点，

求证：|OP|=|OQ|（证明过程不考虑CH或GD垂直于x轴的情形）

正确答案

（Ⅰ）解：∵椭圆的长轴A1A2与x轴平行，短轴B1B2在y轴上，中心M（0，r），

∴椭圆方程为

焦点坐标为，

离心率

（Ⅱ）证明：将直线CD的方程y=k1x代入椭圆方程，

得

整理得

根据韦达定理，得，，

所以 ①

将直线GH的方程y=k2x代入椭圆方程，

同理可得②

由 ①、②得 =

所以结论成立

（Ⅲ）证明：设点P（p，0），点Q（q，0）

由C、P、H共线，得

解得

由D、Q、G共线，同理可得

∴

由=变形得=

所以|p|=|q|

即|OP|=|OQ|

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题型：简答题

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简答题

已知椭圆的两个焦点分别为F1(-c，0)和F2(c，0)(c＞0)，过点的直线与椭圆相交于A，B两点，且F1A∥F2B，|F1A|=2|F2B|，

(Ⅰ)求椭圆的离心率；

(Ⅱ)求直线AB的斜率；

(Ⅲ)设点C与点A关于坐标原点对称，直线F2B上有一点H(m，n)(m≠0)在△AF1C的外接圆上，求的值。

正确答案

解：(Ⅰ)由F1A∥F2B且|F1A|=2|F2B|，得，

从而，整理，得，

故离心率为。

(Ⅱ)由(Ⅰ)，得b2=a2-c2=2c2，

所以椭圆的方程可写为2x2+3y2=6c2，

设直线AB的方程为，即y=k(x-3c)，

由已知设A(x1，y1)，B（x2，y2），

则它们的坐标满足方程组，

消去y并整理，得(2+3k2)x2-18k2cx+27k2c2-6c2=0，

依题意，，得，

而，①

，②

由题设知，点B为线段AE的中点，所以x1+3c=2x2， ③

联立①③解得，

将x1，x2代入②中，解得。

(Ⅲ)由(Ⅱ)可知x1=0，，

当时，得，由已知得，

线段AF1的垂直平分线l的方程为，

直线l与x轴的交点是△AF1C的外接圆的圆心．

因此外接圆的方程为，

直线F2B的方程为，

于是点H(m，n)的坐标满足方程组，

由m≠0，解得，

故。

当时，同理可得。

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题型：简答题

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简答题

设直线l：y=2x+1与椭圆相交于A、B两个不同的点且（O为原点），

（Ⅰ）求证：4a2+b2＞1；

（Ⅱ）求证：等于定值；

（Ⅲ）当椭圆离心率e∈时，求椭圆长轴的取值范围。

正确答案

（Ⅰ）证明：将y=2x+1代入，

消去y得：， ①

由直线与椭圆相交于两个不同的点可得：

，

所以4a2+b2＞1；

（Ⅱ）解：设A（x1， y1）、B（x2， y2），

则由①得，

依题意，，

∴，

即，

∴为定值；

（Ⅲ）解：∵，

代入，

∴，

∵，

∴，

，

∴，

∴椭圆长轴长的取值范围为。

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题型：简答题

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简答题

椭圆的中心是原点O，它的短轴长为，相应于焦点F（c，0）（c＞0）的准线l与x轴相交于点A，|OF|=2|FA|，过点A的直线与椭圆相交于P、Q两点。

（1）求椭圆的方程及离心率；

（2）若，求直线PQ的方程；

（3）设（λ＞1），过点P且平行于准线l的直线与椭圆相交于另一点M，证明。

正确答案

解：（1）由题意，可设椭圆的方程为。

由已知得

解得

所以椭圆的方程为，离心率。

（2）由（1）可得A（3，0）。

设直线PQ的方程为。

由方程组得

依题意，得。

设，则， ①

②

由直线PQ的方程得。

于是。③

∵，∴。④

由①②③④得，从而。

所以直线PQ的方程为或。

（3）证明：

由已知得方程组

注意，解得

因，

故。

而，

所以。

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题型：简答题

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简答题

已知椭圆Γ：（a＞b＞0）的左、右焦点为F1，F2，过点F1斜率为正数的直线交Γ于A，B两点，且AB⊥AF2，|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列。

（1）求Γ的离心率；

（2）若直线y=kx（k＜0）与Γ交于C、D两点，求使四边形ABCD面积S最大时k的值。

正确答案

解：（1）根据椭圆定义及已知条件，有

|AF2|+|AB|+|BF2|=4a ①

|AF2|+|BF2|=2|AB| ②

|AF2|2+|AB|2=|BF2|2 ③

由①、②、③，解得|AF2|=a，|AB|=a，|BF2|=a

所以点A为短轴端点，b=c=

Γ的离心率e==；

（2）由（1），Γ的方程为x2+2y2=a2

不妨设C（x1，y1）、D（x2，y2）（x1＜x2），

则C、D坐标满足

由此得x1=，x2=

设C、D两点到直线AB：的距离分别为d1、d2，

因C、D两点在直线AB的异侧，则

d1+d2==

===

∴

设t=1-k，则t＞1，

当，即时，最大，进而S有最大值。

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题型：简答题

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简答题

已知椭圆E的方程为2x2+y2=2，过椭圆E的一个焦点的直线l交椭圆于A、B两点。

（1）求椭圆E的长轴和短轴的长，离心率，焦点和顶点的坐标；

（2）求△ABO（O为原点）的面积的最大值。

正确答案

解：（1）将椭圆E的方程化为标准方程：

于是，，

因此，椭圆E的长轴长为，短轴长为，离心率，两

个焦点坐标分别是F1（0，-1）、F2（0，1），

四个顶点的坐标分别是，，和。

（2）依题意，不妨设直线l过F2（0，1）与椭圆E的交点

则

根据题意，直线l的方程可设为

将代入得

由韦达定理得：

所以

（当且仅当，即时等号成立）

故△ABO的面积的最大值为。

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题型：简答题

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简答题

如图，F1，F2分别是椭圆（a＞b＞0）的左、右焦点，M为椭圆上一点，MF2垂直于x轴，椭圆下顶点和右顶点分别为A、B，且OM∥AB，

（1）求椭圆的离心率；

（2）过F2作于OM垂直的直线交椭圆于点P、Q，若，求椭圆的方程。

正确答案

解：（1）设F1(-c，0)，F2(c，0)，则M（c，y），

∴A(0，-b)，B(a，0)，且OM∥AB， ∴kOM=kAB，

∴，

又点M在椭圆上，

∴，∴e=；

（2）由（1）得a=c，b=c，

∴椭圆的方程为，

∵kAB=，

∴直线PQ的方程为y=-(x-c)，

∴点F1到直线PQ的距离d=c，

又由，

设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，

∴x1+x2=c， x1x2=，

∴|PQ|=|x1-x2|=c，

=+c·c=20，

∴c2=，

∴a2=，b2=，

∴椭圆的方程为。

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