热门试卷

解：（1）∵F1、F2分别是椭圆的左右焦点，P是该椭圆上的一个动点，

且|PF1|+|PF2|=4，|F1F2|=2，

∴，即a=2，c=，

∴，

∴椭圆方程为．

（2）当l的斜率不存在时，即x=0不满足题设条件

设l为y=kx+2，A（x1，y1），B（x2，y2），

则，∴，

∴，

∵∠AOB=90°，

∴，

∴k2=4，k=±2．

解：（1）由已知得F（0，1），设椭圆方程为（a＞b＞0），则b=1

∵椭圆的离心率为，

∴，

∵a2=b2+c2，

∴a2=2，c=1

∴椭圆方程为+y2=1；

（2）由题意知l的斜率存在且不为零，

设l方程为y=mx﹣2（m≠0）①，

代入+y2=1，

整理得（2m2+1）x2﹣8mx+6=0，

由△＞0得m2＞．

设E（x1，y1），F（x2，y2），则

x1+x2=，x1x2= ②

∵△OBE与△OBF面积之比为λ

∴，

∴

∴x2=λx1．

代入②得，消去x1得，

∵m2＞．

∴

∴

∴且λ≠1

解：（1）由题意可知：a+c=+1，×2c×b=1，

∵a2=b2+c2∴a2=2，b2=1，c2=1

∴所求椭圆的方程为：

（2）设直线l的方程为：y=k（x﹣1）

A（x1，y1），B（x2，y2），M（，0）

联立直线与椭圆方程，消去y可得（2k2+1）x2﹣4k2x+2（k2﹣1）=0

则

∴对于任意的=为定值．

解：（Ⅰ）由题意，，解得．

即椭圆方程为

（Ⅱ）当直线AB与x轴垂直时，，此时不符合题意，故舍掉；

当直线AB与x轴不垂直时，

设直线 AB的方程为：y=k（x+1），

代入消去y得：（2+3k2）x2+6k2x+（3k2﹣6）=0．

设A（x1，y1），B（x2，y2），

则，

所以 ．

原点到直线的AB距离，

所以三角形的面积．

由可得k2=2，∴，

所以直线或．

解：（Ⅰ）设C方程为，则．

由，得a=4

∴椭圆C的方程为．

（Ⅱ）（i）解：设A（x1，y1），B（x2，y2），

直线AB的方程为，

代入，得x2+tx+t2﹣12=0

由△＞0，解得﹣4＜t＜4

由韦达定理得x1+x2=﹣t，x1x2=t2﹣12．

四边形APBQ的面积

∴当t=0，．

（ii）解：当∠APQ=∠BPQ，则PA、PB的斜率之和为0，

设直线PA的斜率为k则PB的斜率为﹣k，

PA的直线方程为y﹣3=k（x﹣2）

由

（1）代入（2）整理得

（3+4k2）x2+8（3﹣2k）kx+4（3﹣2k）2﹣48=0

同理PB的直线方程为y﹣3=﹣k（x﹣2），

可得

∴

所以AB的斜率为定值．

解：（1）设椭圆方程为

则，解得

∴椭圆方程

（2）∵直线l平行于OM，且在y轴上的截距为m

又

∴l的方程为：

由，

∴x2+2mx+2m2﹣4=0

直线l与椭圆交于A、B两个不同点，

∴△=（2m）2﹣4（2m2﹣4）＞0，

∴m的取值范围是{m|﹣2＜m＜2且m≠0}

（3）设直线MA、MB的斜率分别为k1，k2，

只需证明k1+k2=0即可

设

由x2+2mx+2m2﹣4=0可得x1+x2=﹣2m，x1x2=2m2﹣4

而

=

=

=

=

∴k1+k2=0

故直线MA、MB与x轴始终围成一个等腰三角形．

解：（1）∵点M到，的距离之和是4，

∴M的轨迹C是长轴为4，焦点在x轴上焦距为的椭圆，

其方程为，

（2）将y=kx+b，代入曲线C的方程，整理得，

因为直线l与曲线C交于不同的两点P和Q，

所以，  ①

设，

则，  ②

且，  ③

显然，曲线C与x轴的负半轴交于点A（-2，0），

所以，

由，得，

将②、③代入上式，整理得，

所以，即b=2k或，

经检验，都符合条件①

当b=2k时，直线l的方程为y=kx+2k，

显然，此时直线l经过定点（-2，0）点，即直线l经过点A，与题意不符；

当时，直线l的方程为，

显然，此时直线l经过定点点，且不过点A；

综上，k与b的关系是：，且直线l经过定点点．

解：（1）由题意，得椭圆方程为。

（2）设直线AS的方程为，

从而可知M点的坐标为，

由，得，

所以可得BS的方程为，

从而可知N点的坐标为，

∴，当且仅当时，等号成立，

故当时，线段MN的长度取最小值。

（3）由（2）知，当|MN|取最小值时，，

此时直线BS的方程为，，

∴|BS|=，

要使椭圆C上存在点T，使得△TSB的面积等于，只需T到直线BS的距离等于，

所以点T在平行于直线BS且与直线BS的距离等于的直线上。

则直线：或，

联立，，△<0，无解；

，△=44>0，有两个解；

所以T有两个。

解：（I）设椭圆的方程为，则 ，a，

∴，

∵椭圆过点，

∴，解得 a2=25，b2=9，

故椭圆C的方程为

（II）设A（x1，y1），B（x2，y2）分别为直线l与椭圆和圆的切点，

直线AB的方程为y=kx+m，

因为A既在椭圆上，又在直线AB上，从而有，

消去y得：（25k2+9）x2+50kmx+25（m2﹣9）=0，

由于直线与椭圆相切，

故△=（50kmx）2﹣4（25k2+9）x25（m2﹣9）=0，

从而可得：m2=9+25k2，①，x1=，②

由．消去y得：（k2+1）x2+2kmx+m2﹣R2=0，

由于直线与圆相切，得m2=R2（1+k2），③，x2=，④

由②④得：x2﹣x1=，

由①③得：k2=，

∴|AB|2=（x2﹣x1）2+（y2﹣y1）2=（1+k2）（x2﹣x1）2=

=

即|AB|≤2，当且仅当R=时取等号，所以|AB|的最大值为2