热门试卷

解：（1）由题意知 =又∵椭圆的短轴的两个端点与F构成正三角形

∴="1  " 从而   

∴椭圆的方程为="1" ………………3分

（2）设直线的斜率为，则的方程为

  消得   …………5分

设，则由韦达定理得  

      …………7分

则

∴=

=

=

=  ……………………………13

要使上式为定值须，

解得 故时，为定值………………………14分

略

解：（1）由已知，所以，，

又因为，所以，--------------------------------2分

由余弦定理，----4分

所以，，所以椭圆方程为．-------------------------------5分

（2）假设存在点满足条件，设，，直线的方程为，

联立：，则

，----------------------------------------------------------------------------7分

由题知，

因为，

所以，即，

则 ，

所以  ，---------------------------------------------------------------------10分

 ，又在线段上，则，

故存在满足题意．-----------------12分

略

(Ⅰ) 椭圆的方程是：，

（Ⅱ）两圆相内切

（Ⅲ）两圆内切

解: (Ⅰ)在椭圆上 ,          ……………….1分

,         ……………….2分

, .       

所以椭圆的方程是：                       ……………….4分

，                 ……….5分

（Ⅱ）线段的中点 

∴ 以为圆心为直径的圆的方程为 

圆的半径                                          …………….8分

以椭圆的长轴为直径的圆的方程为：  ，圆心为，半径为

圆与圆的圆心距为 所以两圆相内切  ………10分

（Ⅲ）以为直径的圆与以椭圆的长轴为直径的圆相内切           ………11分

设是椭圆的另一个焦点，其长轴长为，

∵点是椭圆上的任意一点，是椭圆的一个焦点，

则有 ，则以为直径的圆的圆心是，圆的半径为，

以椭圆的长轴为直径的圆的半径，

两圆圆心、分别是和的中点，

∴两圆心间的距离，所以两圆内切．…….14分

8-4

在椭圆=1中，

a=,b=2.∴c= =1.

又∵点P在椭圆上，

∴|PF1|+|PF2|=2a=2.                      ①

由余弦定理知：

|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cos30°  

=|F1F2|2=(2c)2="4.                                  " ②

①式两边平方得

|PF1|2+|PF2|2+2|PF1|·|PF2|=20，                ③

③-②得（2+）|PF1|·|PF2|=16，

∴|PF1|·|PF2|=16（2-）， ∴=|PF1|·|PF2|sin30°=8-4.

（1）=1（2）+x2=1（3）=1

（1）由于椭圆的焦点在x轴上，所以设它的标准方程为=1(a＞b＞0).

∴2a==10,

∴a=5.又c=4,∴b2=a2-c2=25-16=9.

故所求椭圆的方程为=1.

(2)由于椭圆的焦点在y轴上，所以设它的标准方程为

="1" (a＞b＞0).

由于椭圆经过点（0，2）和（1，0），

∴∴  故所求椭圆的方程为+x2=1.

(3)设椭圆的标准方程为

mx2+ny2="1" (m＞0,n＞0,m≠n),点P（-2,1）,Q(,-2)在椭圆上，

代入上述方程得   解得∴=1.

证明略

【解题思路】利用“|PF|、|MF|、|QF|成等差数列”找出两动点间的坐标关系

证明：设知

同理                                                        

①当，

从而有

设线段PQ的中点为，                             

得线段PQ的中垂线方程为                                               

②当

线段PQ的中垂线是x轴，也过点

【名师指引】定点与定值问题的处理一般有两种方法：

（1）从特殊入手，求出定点和定值，再证明这个点（值）与变量无关;

（2）直接推理、计算，并在计算过程中消去变量，从而得到定点（定值）．