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（1）略（2）

本试题主要是考查了椭圆方程求解以及直线与椭圆的位置关系的综合运用。

（1）根据已知条件，易知，又因为，所以，

所以，

由|PA|+|PB|的值为常数知动点P的轨迹为焦点在y轴上的椭圆

（2）联立方程组，结合韦达定理，表示得到参数k的等式，进而求解其范围。

解：（1）易知，又因为，所以，

所以，

由|PA|+|PB|的值为常数知动点P的轨迹为焦点在y轴上的椭圆 ------4分

其中  ------6分

（2）假设L存在，因为L与直线相交，所以直线L有斜率，

设L的方程为   ----------------7分

由得 （*） ------9分

因为直线L与椭圆有两个交点

所以（*）的判别式 ① -----10分

设，则    -------------11分

因为MN被直线平分

所以 ②  ----------12分

把②代入①得

因为 所以  ---------------13分 

所以所以或

即直线L的斜率取值范围是   ------------14分

的轨迹是以为焦点，以为中心椭圆，其方程是

如图，椭圆的中心为，别一个焦点为的坐标为，（其中），连接，则．

而（常数），

．

由椭圆定义知，的轨迹是以为焦点，以为中心椭圆，其方程是．

（1）（2）

（1）设点是轨迹上的动点，

在椭圆C：的第一象限上运动则

（2）由轨迹的方程

当且仅当

若在开区间有最大值，只有

此时离心率的取值范围为

（2）当直线与轴垂直时与题意不符，所以直线与轴不垂直，即直线的斜率存在

设直线的方程为

代入椭圆的方程，化简得，解得

代入直线的方程，得

所以，的坐标为

又直线的方程为，直线的方程为

联立解得即

而的坐标为

所以即为定值

略

（Ⅰ）解：设椭圆的半焦距是.依题意，得 .       ………………1分

因为椭圆的离心率为，

所以，.                         ………………3分

故椭圆的方程为 .                            ………………4分

（Ⅱ）解：当轴时，显然.                         ………………5分

当与轴不垂直时，可设直线的方程为.

由 消去整理得 . ………7分

设，线段的中点为，

则 .                                     ………………8分

所以 ，.

线段的垂直平分线方程为.

在上述方程中令，得.          ………………10分

当时，；当时，.

所以，或.                      ………………12分

综上，的取值范围是.                       ………………13分

略

解：

（I）由椭圆定义知： ∴  ∴   把代入得∴

则椭圆方程为  ∴   ∴      

故两焦点坐标为．…………6分

（II）用反证法 ： 假设、两点关于原点对称，则点坐标为，

此时    取椭圆上一点，则 ∴ ．

从而此时不是最大，这与最大矛盾，所以命题成立．…………12分

略

略