- 机械能守恒定律
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如图甲所示，长为4m的水平轨道AB与半径为R=0.6m的竖直半圆弧轨道BC在B处相连接，有一质量为1kg的滑块（大小不计），从A处由静止开始受水平向右的力F作用，F的大小随位移变化关系如图乙所示，滑块与AB间动摩擦因数为0.25，与BC间的动摩擦因数未知，取g =l0m/s2。求：
（1）滑块到达B处时的速度大小；
（2）滑块在水平轨道AB上运动前2m过程中所需的时间；
（3）若滑块到达B点时撤去力F，滑块沿半圆弧轨道内侧上滑，并恰好能达到最高点C，则滑块在半圆轨道上克服摩擦力所做的功是多少。
正确答案
解：（1）滑块从A到B的过程中，由动能定理
F1x1－F2x3－μmgx＝
即 20×2－10×1－0.25×1×10×4=
得：vB=
（2）在前2m内：F1－μmg＝ma1
且x1=
解得：t1=
（3）当滑块恰好能到达C点时，应有：
滑块从B到C的过程中，由动能定理：
得：W=-5J，即克服摩擦力做功为5J
如图所示，质量M=3.5kg的小车静止于光滑水平面上靠近桌子处，其上表面与水平桌面相平，小车长L=1.2m，其左端放有一质量为0.5kg的滑块Q。水平放置的轻弹簧左端固定，质量为1kg的小物块P置于桌面上的A点并与弹簧的右端接触。此时弹簧处于原长，现用水平向左的推力将P缓慢推至B点（弹簧仍在弹性限度内）时，推力做的功为WF=6J，撤去推力后，P沿桌面滑到小车上并与Q相碰，最后Q停在小车的右端，P停在距小车左端0.5m处，已知AB间距L1=5cm，A点离桌子边沿C点距离L2=90cm，P与桌面间动摩擦因数
（1）P到达C点时的速度vC；
（2）P与Q碰撞后瞬间Q的速度大小。
正确答案
解：（1）对P由A→B→C应用动能定理，得
（2）设P、Q碰后速度分别为v1、v2，小车最后速度为v，由动量守恒定律得
由能量守恒得
解得
当
即P与Q碰撞后瞬间Q的速度大小为
如图所示，一带电荷量为十q，质量为m的小物块处于一倾角为37°的光滑斜面上，当整个装置被置于一水平向右的匀强电场中，小物块恰好静止。重力加速度取g，sin37°=0.6，cos37°=0.8。求：
（1）水平向右电场的电场强度；
（2）若将电场强度减小为原来的1/2，物块的加速度是多大；
（3）电场强度变化后物块下滑距离L时的动能。
正确答案
解：（1）小物块静止在斜面上，受重力、电场力和斜面支持力
FNsin37°=qE ①
FNcos37°=mg ②
由①②可得
（2）若电场强度减小为原来的1/2，则
mgsin37°－qE'cos37°=ma ③
可得a=0.3g
（3）电场强度变化后物块下滑距离L时，重力做正功，电场力做负功，由动能定理
mgLsin37°－qE'Lcos37°=Ek－0 ④
可得Ek=0.3mgL
如图所示，A1D是水平面，AC是倾角为
（1）求物块与斜面间的动摩擦因数μ；
（2）求初速度之比
（3）试证明物块落到B、C两点前瞬时速度vB、vC大小满足：
正确答案
解：（1）物块从
（2）
因
因
初速度之比
（3）因为
所以
如图所示，一固定直杆AB长为L＝2m，与竖直方向的夹角为θ＝53°，一质量为m＝4kg、电荷量为q＝＋3×10－5C的小球套在直杆上，球与杆间的动摩擦因数为μ＝0.5。直杆所在处空间有水平向右的匀强电场，场强为E＝106N/C，求：
（1）小球静止起从杆的最高点A滑到最低点B时的速度大小v1；
（2）若杆与竖直方向的夹角换成不同的值，小球滑到B时的速度也会不同，为使小球滑到杆的B端时的速度最大，某同学认为应使杆沿竖直方向放置，因为这样重力做的功最多。你认为是否正确，若认为是正确的，请求出此最大速度v2，若认为不正确，请说明理由并求出此时杆与竖直方向的夹角及此最大速度v2。
正确答案
解：（1）小球所受电场力大小为Fe＝qE＝3×10－5×106N＝30N
垂直于杆方向有：FN＝mgsinθ－Fecosθ＝40×0.8－30×0.6N＝14N
摩擦力大小为Ff＝μFN＝0.5×14N＝7N
由动能定理得：（Fesinθ＋mgcosθ－Ff）L＝
（2）某同学的说法不正确，因为此时虽然重力做功多了但是电场力不做功了，而且克服摩擦力做功也多了，所以末动能不是最大。为使小球到达B点时的速度最大，只要重力与电场力做的功最多而克服摩擦力做的功最小，则杆应沿重力与电场力的合力方向，即与竖直方向夹角为θ'＝37°
由动能定理得：（Fesinθ'＋mgcosθ'）L＝
在光滑绝缘的水平面上，用长为2L的绝缘轻杆连接两个质量均为m的带电小球A和B。A球的带电量为+2q，B球的带电量为-3q，组成一带电系统，如图所示，虚线MP为AB两球连线的垂直平分线，虚线NQ与MP平行且相距5L。最初A和B分别静止于虚线MP的两侧，距MP的距离均为L，且A球距虚线NQ的距离为4L。若视小球为质点，不计轻杆的质量，在虚线MP，NQ间加上水平向右的匀强电场E后，试求：
（1）B球刚进入电场时，带电系统的速度大小；
（2）带电系统向右运动的最大距离；
（3）带电系统从开始运动到速度第一次为零时，B球电势能的变化量。
正确答案
解：（1）设带电系统开始运动时，系统的速度为v1
对A、B系统应用动能定理：2qEL=
则v1=
（2）设球A向右运动s时，系统速度为零
由动能定理：A球电场力做功等于B球克服电场力做功
则2qE′s=3qE′(s－L)
则s=3L
（3）B球进入电场距离为2L，B球克服电场力做功WFB=6qEL
则B球电势能增加了6qEL
一轻质细绳一端系一质量为m=0.05 kg的小球A，另一端套在光滑水平细轴O上，O到小球的距离为L＝ 0.1 m，小球与水平地面接触，但无相互作用。在球的两侧等距离处分别固定一个光滑的斜面和一个挡板，二者之间的水平距离S=2 m，如图所示。现有一滑块B，质量也为m，从斜面上高度h＝3 m处由静止滑下，与小球和挡板碰撞时均没有机械能损失。若不计空气阻力，并将滑块和小球都视为质点，滑块B与水平地面之间的动摩擦因数μ=0.25，g取10 m/s2。求：
（1）滑块B与小球第一次碰撞前瞬间，B速度的大小；
（2）滑块B与小球第一次碰撞后瞬间，绳子对小球的拉力；
（3）小球在竖直平面内做完整圆周运动的次数。
正确答案
解：（1）滑块B从斜面高度h处滑下与小球第一次碰撞前瞬间速度为
求得：
（2）滑块B与小球碰撞，没有机械能损失，由动量守恒和机械能守恒得：
求得：
对小球由牛顿第二定律得：
求得：
（3）小球恰能完成一次完整的圆周运动，设它到最高点的速度为v1，小球在最低点速度为v，则有
求得：
小球做完整圆周运动时，碰后的速度至少为
求得：
小球做完整的圆周运动的次数为：
求得：
如图所示，在长为L的轻杆中点A和端点B各固定一质量均为m的小球，杆可绕无摩擦的轴O转动，使杆从水平位置无初速释放摆下。求当杆转到竖直位置时，轻杆对A、B两球分别做了多少功?
正确答案
解：若取B的最低点为零重力势能参考平面，可得：
又因A球对B球在各个时刻对应的角速度相同，故
由①②式得：
根据动能定理，可解出杆对A、B做的功
对于A有：
对于B有：
如图，质量均为m的两个小球A、B固定在弯成120°角的绝缘轻杆两端，OA和OB的长度均为l，可绕过O点且与纸面垂直的水平轴无摩擦转动，空气阻力不计。设A球带正电，B球带负电，电量均为q，处在竖直向下的匀强电场中。开始时，杆OB与竖直方向的夹角θ0＝60°，由静止释放，摆动到θ＝90°的位置时，系统处于平衡状态，求：
（1）匀强电场的场强大小E；
（2）系统由初位置运动到平衡位置，重力做的功Wg和静电力做的功We；
（3）B球在摆动到平衡位置时速度的大小v。
正确答案
解：（1）力矩平衡时：（mg－qE）lsin90°＝（mg＋qE）lsin（120°－90°）
即mg－qE＝
E＝
（2）重力做功：Wg＝mgl（cos30°－cos60°）－mglcos60°＝（
静电力做功：We＝qEl（cos30°－cos60°）＋qElcos60°＝
（3）小球动能改变量△Ek＝Wg＋We＝（
小球的速度v＝
如图所示，沿水平方向有一匀强电场，在该电场中，用不可伸长的长为L的绝缘细绳一端拴一个带电小球，另一端固定在O点。已知带电小球所受重力是其受电场力的3/4倍，且小球恰能在平行于电场方向的竖直平面内做圆周运动。求小球在最低点A处速度的大小和运动过程中最大速度的大小。
正确答案
解：分析小球受力，其最大速度在平衡位置处
tgθ=Eq/mg=4/3，θ=53°，F=5mg/3
设球在C点时速度为VC，由圆周运动规律得：
球由A点运动到C点，则
如图所示的凹形场地，两端是半径为L的1/4圆弧面，中间是长为4L的粗糙水平面。质量为3m的滑块乙开始停在水平面的中点O处，质量为m的滑块甲从光滑圆弧面顶端A处无初速度滑下，进入水平面内并与乙发生碰撞，碰后以碰前一半的速度反弹。已知甲、乙与水平面的动摩擦因数分别为μ1、μ2，且μ1=2μ2，甲、乙的体积大小忽略不计。求：
（1）甲与乙碰撞前的速度；
（2）碰后瞬间乙的速度；
（3）甲、乙在O处发生碰撞后，刚好不再发生碰撞，则甲、乙停在距B点多远处。
正确答案
解：（1）设甲到达O处与乙碰撞前的速度为v甲，由动能定理：
得：
（2）设碰撞后甲、乙的速度分别为v甲′、v乙′，由动量守恒：
又：
得：
（3）由于μ1=2μ2，所以甲、乙在水平面上运动的加速度满足：a甲=2a乙设甲在水平地面上通过的路程为s1、乙在水平地面上通过的路程为s2，则有：
即：
由于甲、乙刚好不再发生第二次碰撞，所以甲、乙在同一地点停下。有以下两种情况：
第一种情况：甲返回时未到达B时就已经停下，此时有：s1＜2L
而乙停在甲所在位置时，乙通过的路程为：s2=2L+2L+s1=4L+s1
因为s1与s2不能满足①，因而这种情况不能发生
第二种情况：甲、乙分别通过B、C冲上圆弧面后，返回水平面后相向运动停在同一地点
所以有：s1+s2=8L ②
①②两式得：
即小车停在距B为：
如图所示，一带电为+q质量为m的小球，从距地面高h处以一定的初速水平抛出，在距抛出点水平距离为L处有根管口比小球略大的竖直细管，管的上口距地面h/2。为了使小球能无碰撞地通过管子（即以竖直速度进入管子），可在管子上方整个区域内加一水平向左的匀强电场，（重力加速度为g）求：
（1）小球的初速度；
（2）应加电场的场强；
（3）小球落地时的动能。
正确答案
解：（1）要使小球无碰撞地通过管口，则当它到达管口时，速度方向为竖直向下
竖直方向，自由落体运动，则运动时间为：
水平方向，粒子做匀减速运动，减速至0，位移
解得
（2）水平方向，根据牛顿第二定律：
又由运动学公式：
解得
（3）由动能定理：
即：
解得：EK=mgh
如图所示，金属极板AB间有电场强度
（1）求小球第一次到达挡板S时的动能；
（2）求小球第一次与挡板S相碰后向右运动的距离；
（3）小球与挡板S经过多少次碰撞后，才能运动到
正确答案
解：（1）小球第一次到达挡板时，由动能定理得
（2）设小球与挡板相碰后向右运动s，则
（3）分析题意可知，每次碰后向右运动的距离是前一次的1/k
n=
所以：n取13
如图，AB是倾角为θ的粗糙直轨道，BCD是光滑的圆弧轨道，AB恰好在B点与圆弧相切，圆弧的半径为R。一个质量为m的物体（可以看作质点）从直轨道上的P点由静止释放，结果它能在两轨道间做往返运动。已知P点与圆弧的圆心O等高，物体与轨道AB间的动摩擦因数为μ。求：
（1）物体做往返运动的整个过程中在AB轨道上通过的总路程；
（2）最终当物体通过圆弧轨道最低点E时，对圆弧轨道的压力；
（3）为使物体能顺利到达圆弧轨道的最高点D，释放点距B点的距离L′应满足什么条件。
正确答案
解：（1）物体从P点出发至最终到达B点速度为零的全过程，由动能定理得：
mgRcosθ－μmgcosθ=0
所以：
（2）最终物体以B（还有B关于OE的对称点）为最高点，在圆弧底部做往复运动，物体从B运动到E的过程，由动能定理得：
在E点，由牛顿第二定律得：
联立解得：
则物体对圆弧轨道的压力：
（3）设物体刚好到D点，则mg＝
对全过程由动能定理得：mgL′sinθ－μmgcosθ·L′－mgR(1＋cos θ)＝
如图所示的装置是在竖直平面内放置光滑的绝缘轨道，处于水平向右的匀强电场中，以带负电荷的小球从高h的A处静止开始下滑，沿轨道ABC运动后进入圆环内作圆周运动。已知小球所受到电场力是其重力的3／4，圆滑半径为R，斜面倾角为θ=53°，sBC=2R。若使小球在圆环内能作完整的圆周运动，h至少为多少？（sin37°=0.6 sin53°=0.8）
正确答案
解：小球所受的重力和电场力都为恒力，故可两力等效为一个力F，如图所示
可知F＝1.25mg，方向与竖直方向左偏下37°，从图中可知，能否作完整的圆周运动的临界点是能否通过D点，若恰好能通过D点，即达到D点时球与环的弹力恰好为零
由圆周运动知识得：
即：
由动能定理有：
联立①、②可求出此时的高度h=10R
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