- 机械能守恒定律
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如图5-5-10所示，质量为m的物体A静止在地面上，其上表面竖直连接着一根长L、劲度系数为k的轻弹簧，现用手拉着弹簧上端P将物体缓慢提高h,则物体的重力势能增加了_________，人对弹簧拉力所做的功_________物体克服重力所做的功（填“大于”“小于”或“等于”）.若弹簧的上端P点升高了H，物体恰已离开地面，则物体的重力势能增加了________；人对弹簧拉力所做的功__________mgH（填“大于”“小于”或“等于”）.
图5-5-10
正确答案
mgh 大于 mg(
因将物体缓慢提高h，物体的重心升高h，故物体的重力势能增加了mgh，克服重力所做的功等于（重力势能的增加）mgh；由功能关系，人对弹簧拉力所做的功等于物体重力势能的增加mgh和弹簧弹性势能的增量之和.所以人做的功应大于mgh.在缓慢拉物体上升过程中，物体所受弹簧向上的拉力kx与重力mg平衡.由此求出弹簧伸长的长度
如图所示，一条铁链长为2m，质量为10kg，放在水平地面上，拿住一端提起铁链直到铁链全部离开地面的瞬间，物体克服重力做功为多少?物体的重力势能变化了多少?
正确答案
98J 增加了98J
铁链从初状态到末状态，它的重心位置提高了h=
质量为m的小木球从离水面高度为h处由静止释放，落入水中后，在水中运动的最大深度是h′，最终木球停在水面上.若木球在水中运动时，受到的阻力恒为Fμ，求：
（1）木球释放后的全部运动过程中，重力做的功是多少，它的重力势能变化了多少；
（2）全过程中水对木球的浮力做了多少功；
（3）分析木球的运动情况，根据你现有的知识能否求出水的阻力Fμ对木球做的总功.若能，请简要说明思路.
正确答案
（1）mgh （2）0
（3）水的阻力对木球做的功是-mgh
1）因为重力做功与路径无关，只与过程初、末状态的高度有关，所以全过程尽管木球在水下做了许多往复运动，但所做的功由h的大小决定，即WG=mgh.木球的重力势能减少了mgh.
（2）水对木球的浮力是一个恒力，全过程木球在浮力作用下发生的位移是零，所以水的浮力做的功是零，或者从球在水中的每一个往复过程研究浮力对木球做的功：木球在水中下落时，浮力做负功，在水中上浮时浮力做等量的正功，所以木球的每一次往复运动，水的浮力对它做的功都为零，全部往复运动过程，浮力做功也为零.
（3）木球先是在空中自由下落，进入水中后由于阻力（包括浮力和因运动而产生的阻力Fμ）大于重力，木球做匀减速运动，直到速度为零；之后向上做加速运动，可能越出水面向上运动，至速度为零后再下落，但后一次在水中运动的深度将小于前一次深度，经过多次往复后，静止在水面上.
从全过程来看木球的重力势能减少了，减少的重力势能通过克服水的阻力做功而转化为内能.根据功是能量转化的量度知，球克服水的阻力Fμ做的功Wμ等于木球重力势能的减少，Wμ=mgh.
如图所示，轻质绳子绕过光滑的定滑轮，它的一端拴住一个质量为10 kg的物体，人竖直向下拉绳子，使物体处于静止状态，AB长4m，然后人拉着绳子的一端沿水平方向缓慢地由A移到C，A、C相距3m．在这个过程中人做的功是多少？（g取10m/s2）
正确答案
100 J
以物体m为研究对象，则在人由A到C运动过程中，物体m上升的高度为：Δh=
如图6-3-16所示，一小定滑轮距离地面高刚好为一链条的长度L，有一个人用轻绳跨过滑轮系住链条的一端，用力将全部堆放在地面上的链条向上拉动，当链条有L/4长度跨过滑轮时，人不再用力拉绳，这时链条继续运动，最后刚好静止在滑轮上，不计滑轮的摩擦，链条的质量为m，则人的拉力做功为 .
正确答案
链条最后刚好静止在滑轮上,应是定滑轮的左右两端各有链条的一半，所以链条的重心升高
质量为m的飞机以水平速度v0飞离跑道后逐渐上升，如图5-4-6所示，若飞机在此过程中水平速度保持不变，同时受到重力和竖直方向上的恒定升力（该升力由其他的力的合力提供，不含重力），今测得当飞机在水平方向的位移为l时，它的上升高度为h.求：
图5-4-6
（1）飞机受到的升力大小；
（2）从起飞到上升至h高度的过程中升力所做的功及在高度h处飞机的动能.
正确答案
（1）F=mg+ma=mg(
（2）升力做功：mgh(
Ek=
1）飞机水平速度不变：l=v0t
y方向加速度恒定：h=
即得：a=
由牛顿第二定律：
F=mg+ma=mg(
（2）升力做功：
W=Fh=mgh(
在h处vt=at=
Ek=
质量为60 kg的人，爬上高出地面20 m的平台，他克服重力做功__________________J，他的重力势能增加__________________J.
正确答案
1.2×104 1.2×104
克服重力做功：W=mgh=1.2×104 J，重力做负功，重力势能增加，增加1.2×104 J.
如图7-5-10所示，矿井深100 m，用每米质量为1 kg的钢索把质量为100 kg的机器从井底提到井口，至少应做多少功?(机器可视为质点，g取10 m/s2)
图7-5-10
正确答案
1.5×105 J
提升前绳的重心距井口为h1="50" m，机器距井口为h2="100" m，提升过程中绳和机器增加的重力势能为ΔEp=m1gh1+m2gh2="100×10×50" J+100×10×100 J=1.5×105 J
所以，把机器提到井口至少应做1.5×105 J的功.
地面上竖直放置一根劲度系数为k、原长为L0的轻质弹簧，在其正上方有一质量为m的小球从h高处自由落到下端固定于地面的轻弹簧上，弹簧被压缩，求小球速度最大时重力势能是多少?（以地面为参考平面）
正确答案
重力势能Ep=mgH=mg（L0-
仔细分析小球的受力情况与运动过程，判断出小球加速度为零（合力为零）时速度最大，而后依据胡克定律与重力势能的定义求解.
当mg=kx时，小球的速度最大，所以x=
此时小球离地面高度为:H=L0-x=L0-
重力势能Ep=mgH=mg（L0-
跳绳是一种健身运动。设某运动员的质量是50kg，他一分钟跳绳180次。假定在每次跳跃中，脚与地面的接触时间占跳跃一次所需时间的2 / 5，则该运动员跳绳时克服重力做功的平均功率是__________W（g取10m/s2）。
正确答案
75W
跳一次的时间是t0 =" 60" / 180 s =" 1" / 3 s
人跳离地面作竖直上抛，到最高点时间为
t =
此过程克服重力做功W = 
跳绳时克服重力做功的平均功率
（12分）一质量为60kg的探险者在丛林探险时，看见一头狮子正走向一头幼小的羚羊．探险者立即把绳子的一端绕在一根粗壮的树枝上，另一端系在自己的身上，拉紧绳子从静止开始荡向低处，并在最低点抓住质量为20kg的羚羊，抓住羚羊前瞬间的速度大小为16m/s，随后刚好荡到另一根树枝上，脱离了危险．已知悬挂点与人之间的绳长为24m，起荡点与最低点的高度差为12.8m，探险者抓住羚羊后瞬间的速度是抓住羚羊前瞬间速度的3/4。运动过程中探险者和羚羊均可看作质点。（g取10m/s2）求：
（1）探险者从起荡点下摆到最低点过程中，重力势能改变了多少？
（2）探险者下摆到最低点瞬间，重力的功率多大？
（3）探险者在最低点抓住羚羊前、后绳子承受的拉力分别是多大？
正确答案
（1）7680J （2）0 （3）F1＝1240N F2＝1280N
试题分析：（1）重力做的功为：
则重力势能减少了7680J （2分）
（2）探险者下摆到最低点瞬间，
重力方向与速度方向垂直，
所以重力的功率为零。（2分）
（3）设探险者质量为M，羚羊的质量为m，
抓住羚羊前瞬间速度为v1，抓住羚羊后瞬间速度为v2，
绳长L，抓住羚羊前瞬间拉力为F1，
抓住羚羊后瞬间拉力为F2
探险者抓住羚羊前瞬间，对整体研究，根据牛顿第二定律得：
代入得F1＝1240N （1分）
探险者抓住羚羊后瞬间，对整体研究，根据牛顿第二定律得：
v2=12m/s （1分）
代入数据得F2＝1280N （1分）
如图所示，当质量为m的物体分别处于A,B和C三点时，
(1)它的重力势能是多大?
(2)A点与B点、B点与C点、A点与C点的势能差各是多少？
设A点距地面高为h的地方，B点在地面上，C点距地面深为a的地方．
正确答案
解：(1) 选地面为参考平面，
物体在A ，B ，C 三点的重力势能分别为
EpA =mgh ，EpB=0，EpC=-mga.
(2)各点间的势能差分别为
EpA-EpB=mgh ，EpB-EpC=mga ，EpA -EpC=mg(h+a).
弹弓是一种兵器，也是一种儿童玩具，它是由两根橡皮条和一个木叉制成的。拉伸橡皮的过程人对橡皮条做功，使其具有一定的弹性势能，放手后橡皮条的弹力做功，将储存的弹性势能转化为石子的动能，使石子以较大的速度飞出，具有一定的杀伤力。试设计一个实验，求出橡皮条在拉伸到一定长度的过程中，弹力所做的功是多少？橡皮条具有的弹性势能是多少？（只要求设计可行的做法和数据处理方式，不要求得出结论）
正确答案
（1）准备橡皮条、测力计、坐标纸、铅笔、直尺等
（2）将橡皮条的一端固定，另一端拴一绳扣
（3）用直尺从橡皮条的固定端开始测量橡皮条的原长x0，记录在表格中
（4）用测力计挂在绳扣上，测出在不同拉力F1、F2、F3……的情况下橡皮条的长度x10、x20、x30……
（5）计算出在不同拉力时橡皮条的伸长量x1、x2、x3……
（6）以橡皮条的伸长量为横坐标，以对应的拉力为纵坐标在坐标纸上建立坐标系、描点，并用平滑的曲线作出F—xi图
（7）测量曲线与x轴包围的面积S，这个面积在数值上等于外力克服橡皮条的弹力所做的功，也就是弹力所做负功的数值。
在光滑水平面上有两个小球，如图5-5-7所示，假设它们之间存在着相互排斥的力，也具有一种势能，我们把它叫做x势能.当A小球不动B小球在外力作用下向A靠近，试分析它们间的x势能将如何变化？
图5-5-7
正确答案
增加.
由于外力对B球做正功，B球克服斥力做功，因此两球间势能增加.
请你举出一些物体具有势能的例子．
正确答案
水从高处往低处；流重锤打桩机；高空中的雨滴等
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