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题型: 单选题
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单选题 · 5 分

4.已知菱形的边长为 ,  ,则(    )

A

B

C

D

正确答案

D

解析

∵菱形ABCD的边长为a,∠ABC=60°,∴=a2=a×a×cos60°=,则)•=+=,故选:D.

菁优网版权所有【解题思路】由已知可求,根据)•=+代入可求.

考查方向

本题主要考查了平面向量数量积的定义的简单运算,属于基础试题

易错点

平面向量数量积的运算,线性转换.

知识点

空间向量的数乘运算
1
题型:简答题
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简答题 · 14 分

如图所示,已知AB为圆O的直径,点D为线段AB上一点,且AD=DB,点C为圆O上一点,且BC=AC,点P在圆O所在平面上的正投影为点D,PD=DB。

(1)求证:PA⊥CD;

(2)求二面角C﹣PB﹣A的余弦值。

正确答案

见解析。

解析

(1)连接OC,由3AD=BD知,点D为AO的中点,

又∵AB为圆的直径,∴AC⊥BC,

AC=BC,∴∠CAB=60°,

∴△ACO为等边三角形,∴CD⊥AO.

∵点P在圆O所在平面上的正投影为点D,

∴PD⊥平面ABC,又CD⊂平面ABC,

∴PD⊥CD,PD∩AO=D,

∴CD⊥平面PAB,PA⊂平面PAB,

∴PA⊥CD.

(2)过点D作DE⊥PB,垂足为E,连接CE,

知识点

空间向量的数乘运算
1
题型:简答题
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简答题 · 12 分

如图,在四棱锥中,底面 ,    ,的中点。

(1)证明:

(2)证明:平面

(3)求二面角的正切值。

正确答案

见解析

解析

(1)证明:在四棱锥中,因底面平面,故

平面

平面,…………………………………………(4分)

(2)证明:由,可得

的中点,

由(1)知,,且,所以平面

平面

底面在底面内的射影是

,综上得平面,………………………………(8分)

(3)解法一:过点,垂足为,连结,则(2)知,平面在平面内的射影是,则

因此是二面角的平面角。

由已知,得,设

可得

中,

中,

所以二面角的正切值为,……………………………………(12分)

解法二:由题设底面平面,则平面平面,交线为

过点,垂足为,故平面,过点,垂足为,连结,故,因此是二面角的平面角。

由已知,可得,设

可得

于是,

中,

所以二面角的正切值是

知识点

空间向量的数乘运算
1
题型:填空题
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填空题 · 5 分

已知球O夹在一个锐二面角之间,与两个半平面分别相切于点A、B,若AB=,球心O到该二面角的棱的距离为,则球O的体积为      。

正确答案

3(4)π 

解析

解析:设球的半径为r.过球心O作直线l的垂线,设垂足为C,则三角形OAC是以角A为直角的直角三角形,且OA=r,OC=,点A到OC的距离为5(5),设AC的长为x,则xr=5(5)×=2,x2+r2=5,两式联立解得r=1(x=2,)或r=2(x=1,)(因为二面角为锐二面角,故舍去),所以球的体积为3(4)π。

知识点

空间向量的数乘运算
下一知识点 : 共线向量与共面向量
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