棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积
共14题

· 棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积

棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积
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题型：简答题

简答题 · 12 分

19.如图，为正方体外一点，，，为中点.

（1）求证：；

（2）求四棱锥的表面积.

正确答案

（1）见解析；（2）

解析

试题分析：本题属于立体几何中的证明和求表面积问题，

（1）线线垂直转化为由线面垂直来证明；

（2）将每个面的面积算出来，最后相加即可。

（1）取中点，连接，则，即共面

因为，所以，又因为且，

所以，所以，由于，所以，又由于

因此，，

（2）设四棱锥的表面积为，

由于，所以，又

所以，所以，即为直角三角形，由（1）知，而，

所以，故，即也为直角三角形

综上，

考查方向

本题考查了立体几何中的证明和求表面积问题。

解题思路

本题考查立体几何的问题，解题步骤如下：（1）线线垂直转化为由线面垂直来证明；（2）将每个面的面积算出来，最后相加即可。

易错点

不会将线线垂直转化为由线面垂直来证明。

知识点

棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积直线与平面垂直的判定与性质

题型：填空题

填空题 · 5 分

16．已知三棱柱的侧棱垂直于底面，各顶点都在同一球面上，若该棱柱的体积为，，，则此球的表面积等于_______________.

正确答案

解析

因为侧棱垂直于底面，棱柱的体积为，，，所以

，所以又因为，所以,设三角形ABC外接圆的半径为R.则，所以，所以外接球的半径为。所以球的表面积为

考查方向

球的体积和表面积

解题思路

利用垂直和棱柱体积求出AA1，再求出三角形ABC外接圆的半径，即可得到球的半径，从而求出球的表面积

易错点

计算能力；立体感

知识点

棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积

题型：填空题

填空题 · 5 分

9．现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2，高为8的圆柱各一个，若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为　　．

正确答案

解析

由题意可知，原来圆锥和圆柱的体积和为：．

设新圆锥和圆柱的底面半径为r，

则新圆锥和圆柱的体积和为：．

∴，解得：．

故答案为：

考查方向

本题考查了圆柱与圆锥的体积公式，是基础的计算题

解题思路

由题意求出原来圆柱和圆锥的体积，设出新的圆柱和圆锥的底面半径r，求出体积，由前后体积相等列式求得r．

易错点

本题考查了圆柱与圆锥的体积公式在计算半径时易错

知识点

棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积棱柱、棱锥、棱台的体积

题型：填空题

填空题 · 5 分

10. 若一个球的体积是，则该球的内接正方体的表面积是_____________．

正确答案

128

解析

由题可知，球的半径为4，则正方体的棱长为a,3a2=64,所以表面积为128.

考查方向

本题主要考查球的组合体问题

解题思路

表示球内接正方体的棱长，即可得到结果。

易错点

本题易在求棱长时发生错误。

知识点

棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积球的体积和表面积与球体有关的内切、外接问题

题型：简答题

简答题 · 12 分

18. 如图四边形ABCD为菱形，G为AC与BD交点，，

（1）证明：平面平面；

（2）若，三棱锥的体积为，求该三棱锥的侧面积.

正确答案

（1）因为四边形ABCD为菱形，所以AC⊥BD.

因为BE⊥平面ABCD,所以AC⊥BE,故AC⊥平面BED.

又AC平面AEC,所以平面AEC⊥平面BED.

（2）设AB=，在菱形ABCD中，又∠ABC= ，可得

AG=GC=，GB=GD=.

因为AE⊥EC,所以在Rt△AEC中，可的EG=.

由BE⊥平面ABCD,知△EBG为直角三角形，可得BE=.

由已知得，三棱锥E-ACD的体积=×AC·GD·BE=.

故=2

从而可得AE=EC=ED=.

所以△EAC的面积为3，△EAD的面积与 △ECD的面积均为.

故三棱锥E-ACD的侧面积为3+2.

解析

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知识点

棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积棱柱、棱锥、棱台的体积直线与平面垂直的判定与性质平面与平面垂直的判定与性质

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