函数模型及其综合应用_章节学习

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题型：简答题

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简答题 · 14 分

17．如图所示，是两个垃圾中转站，在的正东方向千米处，的南面为居民生活区. 为了妥善处理生活垃圾，政府决定在的北面建一个垃圾发电厂. 垃圾发电厂的选址拟满足以下两个要求（可看成三个点）：①垃圾发电厂到两个垃圾中转站的距离与它们每天集中的生活垃圾量成反比，比例系数相同；②垃圾发电厂应尽量远离居民区（这里参考的指标是点到直线的距离要尽可能大）. 现估测得两个中转站每天集中的生活垃圾量分别约为吨和吨，问垃圾发电厂该如何选址才能同时满足上述要求？

正确答案

选址应满足千米，千米.

解析

试题分析：本题属于解三角形应用题，题目的理解有一定难度，要注意读懂题意，选择函数模型来解决是本题的关键。

解法一：由条件①，得.

设，

则，

所以点到直的距离

，

所以当，即时，取得最大值15千米.

即选址应满足千米，千米.

解法二：以所在直线为轴，线段的中垂线为轴，建立平面直角坐标系.

则.

由条件①，得.

设，则，

化简得，，

即点的轨迹是以点（）为圆心、为半径的圆位于轴上方的半圆.

则当时，点到直线的距离最大，最大值为千米.

所以点的选址应满足在上述坐标系中其坐标为即可

考查方向

本题考查了解三角形的应用题，分清条件和结论，理顺数量关系，建立相应数学模型，利用正弦定理、余弦定理求解数学模型，得出数学结论。

解题思路

本题解三角形的应用题，解题步骤如下：

1、弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系。

2、建立相应数学模型。

3、利用正弦定理、余弦定理、求函数最值求解数学模型。

4、得出数学结论。

易错点

1、不能准确读懂题意，理顺数量关系。

2、转化为解三角形问题时，点到直线的距离要尽可能大的理解与求解。

知识点

函数模型的选择与应用

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题型：简答题

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多选题

建设项目的保修证书的主要内容包括( )。

A．保修时间
B．保修说明
C．保修单位的名称
D．保修所使用的材料
E．保修范围和内容

正确答案

A,B,C,E

解析

暂无解析

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题型：简答题

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简答题 · 14 分

某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路，记两条相互垂直的公路为l1，l2，山区边界曲线为C，计划修建的公路为l，如图所示，M，N为C的两个端点，测得点M到l1，l2的距离分别为5千米和40千米，点N到l1，l2的距离分别为20千米和2.5千米，以l2，l1在的直线分别为x，y轴，建立平面直角坐标系xOy，假设曲线C符合函数y=（其中a，b为常数）模型．

21.求a，b的值；

22.设公路l与曲线C相切于P点，P的横坐标为t．

①请写出公路l长度的函数解析式f（t），并写出其定义域；

②当t为何值时，公路l的长度最短？求出最短长度．

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

（1）由题意知，点M，N的坐标分别为（5，40），（20，2.5），

将其分别代入y=，得，

解得，

考查方向

本题考查利用数学知识解决实际问题，考查导数知识的综合运用，确定函数关系，正确求导是关键．

解题思路

由题意知，点M，N的坐标分别为（5，40），（20，2.5），将其分别代入y=，建立方程组，即可求a，b的值；

易错点

本题考查利用数学知识解决实际问题，在实际应用问题时易错.

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

t=10时，公路l的长度最短，最短长度为15千米

解析

）①由（1）y=（5≤x≤20），P（t，），

∴y′=﹣，

∴切线l的方程为y﹣=﹣（x﹣t）

设在点P处的切线l交x，y轴分别于A，B点，则A（，0），B（0，），

∴f（t）==，t∈[5，20]；

②设g（t）=，则g′（t）=2t﹣=0，解得t=10，

t∈（5，10）时，g′（t）＜0，g（t）是减函数；t∈（10，20）时，g′（t）＞0，g（t）是增函数，

从而t=10时，函数g（t）有极小值也是最小值，

∴g（t）min=300，

∴f（t）min=15，

答：t=10时，公路l的长度最短，最短长度为15千米

考查方向

本题考查利用数学知识解决实际问题，考查导数知识的综合运用，确定函数关系，正确求导是关键．

解题思路

①求出切线l的方程，可得A，B的坐标，即可写出公路l长度的函数解析式f（t），并写出其定义域；

②设g（t）=，利用导数，确定单调性，即可求出当t为何值时，公路l的长度最短，并求出最短长度．

易错点

本题考查利用数学知识解键决实际问题，考查导数知识的综合运用，确定函数关系，在应用导数解题过程中易错．

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题型：简答题

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简答题 · 14 分

17．为了研究某种药物，用小白鼠进行试验，发现药物在血液内的浓度与时间的关系因使用方式的不同而不同。若使用注射方式给药，则在注射后的3小时内，药物在白鼠血液内的浓度与时间t满足关系式：，若使用口服方式给药，则药物在白鼠血液内的浓度与时间t满足关系式：现对小白鼠同时进行注射和口服该种药物，且注射药物和口服药物的吸收与代谢互不干扰。

（1）若a=1，求3小时内，该小白鼠何时血液中药物的浓度最高，并求出最大值？

（2）若使小白鼠在用药后3小时内血液中的药物浓度不低于4，求正数a的取值范围。

正确答案

解析

解析已在路上飞奔，马上就到！

知识点

分段函数模型函数模型的选择与应用利用基本不等式求最值

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题型：简答题

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简答题 · 16 分

18．某出版社新出版一本高考复习用书，该书的成本为5元一本，经销过程中每本书需付给代理商元的劳务费，经出版社研究决定，新书投放市场后定价为元一本，，预计一年的销售量为万本。

（1）求该出版社一年的利润L（万元）与每本书的定价的函数关系式；

（2）若时，当每本书的定价为多少元时，该出版社一年利润L最大，并求出L的最大值。

正确答案

解析

解析已在路上飞奔，马上就到！

知识点

函数解析式的求解及常用方法函数的最值及其几何意义函数模型的选择与应用

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题型：单选题

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单选题 · 5 分

5.在计量某种物品的重量x(1≤x<100)时,规定仅取整数值y,由于该种物品的特殊性,要求按五舍六入的办法进行(即用x除以10的余数大于6时进1,否则直接舍去),那么y与x之间的函数关系用取整函数y=[x]([x]表示不大于x的最大整数)可以表示为（　　　）

A

B

C

D

正确答案

B

解析

设x=10m+α(0≤α≤9),

当0≤α≤6时,

当6<α≤9时,

所以选B.

知识点

函数解析式的求解及常用方法函数模型的选择与应用

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题型：简答题

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简答题 · 14 分

21.节能环保日益受到人们的重视，水污染治理也已成为“十三五”规划的重要议题．某地有三家工厂，分别位于矩形的两个顶点、及的中点处，km，km，为了处理三家工厂的污水，现要在该矩形区域上（含边界），且与、等距离的一点处，建造一个污水处理厂，并铺设三条排污管道、、．设（弧度），排污管道的总长度为km．

（1）将表示为的函数；

（2）试确定点的位置，使铺设的排污管道的总长度最短，并求总长度的最短公里数（精确到0.01 km）．

正确答案

（1）（）；

（2）点在中垂线上离点距离为km处，取得最小值km．

解析

（1）由已知得，

即（其中）

（2）记，则，则有，

解得或

由于，所以，当，即点在中垂线上离点距离为

km处，取得最小值（km）．

考查方向

本题以实际问题为背景，主要考查函数解析式的构建以及函数最值的求解，考查数学建模的能力，是中档题．以实际问题为背景的生活中的优化问题，这类问题在近几年各省市的高考试卷中频频出现，是高考的热点问题．这类问题往往涉及到建立函数关系式和函数的最值，一般先设自变量、因变量，建立函数关系式，并确定其定义域，求最值时可利用三角函数的有界性、函数的单调性，也可直接利用导数求最值，要掌握求最值的方法和技巧．也注意结果应与实际情况相符合．

解题思路

先建立函数，再利用三角函数的有界性求的范围，最后得到需要的结果．

易错点

建立函数过程中，容易遗忘定义域，还要注意实际情况；求最值的有多种方法，还要注意结果应与实际情况相符合．

知识点

函数模型的选择与应用解三角形的实际应用

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题型：简答题

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简答题 · 14 分

某单位有员工1000名，平均每人每年创造利润10万元．为了增加企业竞争力，决定优化产业结构，调整出x (x∈)名员工从事第三产业，调整后他们平均每人每年创造利润为万元(a＞0)，剩下的员工平均每人每年创造的利润可以提高0.2x%．

19.若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来1000名员工创造的年总利润，则最多调整出多少名员工从事第三产业？

20.在（1）的条件下，若调整出的员工创造出的年总利润始终不高于剩余员工创造的年总利润，则a的取值范围是多少？

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

详见解析

解析

（1）由题意，得10(1000－x)(1＋0.2x %)≥10×1000，即－500x≤0，

又x＞0，所以0＜x≤500．即最多调整500名员工从事第三产业． ……5分

考查方向

基本不等式在最值问题中的应用；函数模型的选择与应用．

解题思路

根据题意可列出10（1000-x）（1+0.2x%）≥10×1000，进而解不等式求得x的范围，确定问题的答案

易错点

不能正确的构造出函数的模型，对函数模型掌握不好

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

详见解析

解析

（2）从事第三产业的员工创造的年总利润为万元，

从事原来产业的员工的年总利润为万元，

则≤， ……8分

所以ax－≤1000＋2x－x－，

所以ax≤＋1000＋x，即a≤＋＋1恒成立． ……11分

因为＋≥＝4，当且仅当＝，

即x＝500时等号成立，所以a≤5，又a＞0，所以0＜a≤5．

所以a的取值范围为(0，． ……14分

考查方向

基本不等式在最值问题中的应用；函数模型的选择与应用．

解题思路

根据题意分别表示出从事第三产业的员工创造的年总利润和从事原来产业的员工的年总利润，进而根据题意建立不等式，根据均值不等式求得求a的范围

易错点

不能正确的构造出函数的模型，对函数模型掌握不好

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题型：填空题

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填空题 · 14 分

21．如图，在一条景观道的一端有一个半径为米的圆形摩天轮O，逆时针分钟转一圈，从处进入摩天轮的座舱，垂直于地面，在距离处米处设置了一个望远镜．

（1）同学甲打算独自乘坐摩天轮，但是其母亲不放心，于是约定在登上摩天轮座舱分钟后，在座舱内向其母亲挥手致意，而其母亲则在望远镜中仔细观看．问望远镜的仰角应调整为多少度？（精确到1度）

（2）在同学甲向其母亲挥手致意的同时，同一座舱的另一名乘客乙在拍摄地面上的一条绿化带，发现取景的视角恰为，求绿化带的长度（精确到1米）．

正确答案

（1）；

（2）94米．

解析

（1）逆时针分钟转一圈，

∴分钟转过

过点作于点，

则

∴，

∴

答：望远镜的仰角设置为

（2）在中，，

∴

∴由正弦定理得

∴

答：绿化带的长度为94米．

考查方向

本题主要考查利用正弦定理解三角形，是一道有实际问题背景的应用题．应用题的考查在近几年的各省高考题中出现的频率非常高，通常与函数、不等式、三角、数列、解析几何、立体几何、向量、概率统计等知识点相结合进行命题，是高考的热点问题．

解题思路

题（1），摩天轮做匀速转动，逆时针15分钟转一圈，可得5分钟转过120°，过点C作CH⊥AB于点H，解三角形可得望远镜的仰角；

（2）由题意可求CD，利用正弦定理即可解得BD的长度．

易错点

面对题设条件，无法确定什么时候用正弦定理什么时候用余弦定理或其它相关知识求解三角形的边与角．

知识点

函数模型的选择与应用正弦定理的应用解三角形的实际应用

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题型：单选题

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单选题 · 5 分

王先生购买了一部手机，欲使用中国移动“神州行”卡或加入联通的130网，经调查其收费标准见下表：（注：本地电话费以分为计费单位，长途话费以秒为计费单位.）

若王先生每月拨打本地电话的时间是拨打长途电话时间的5倍，若要用联通130应最少打多长时间的长途电话才合算. （）

A300秒

B400秒

C500秒

D600秒

正确答案

B

解析

由已知，王先生每月拨打本地电话的时间是拨打长途电话时间的5倍和条件，可知要用联通130应最少打400秒时间的长途电话才合算.

考查方向

本题主要考查分段函数以及资源最优化问题

易错点

少算了甲的费用

知识点

分段函数的解析式求法及其图象的作法函数的值函数模型的选择与应用

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