- 集合
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已知 A={x|x=4n+1，n∈Z}，B={x|x=8n+1，n∈Z}，判断A、B之间的关系是A______B（用⊆或⊇或∈或∉填空）
正确答案
⊇
解析
解：∵B={x|x=8n+1，n∈Z}={x|x=4•2n+1，n∈Z}，且A={x|x=4n+1，n∈Z}，
2n是偶数，n是整数，
∴A⊇B，
故答案为：⊇．
设集合A={x|
正确答案
|a-b|≥3
解析
解：∵A⊆B，集合A={x∈R|a-1＜x＜a+1}，B={x∈R|x＜b-2或x＞b+2}，
∴b+2≤a-1，或b-2≥a+1；
∴a-b≥3，或a-b≤-3；
即|a-b|≥3．
故答案为：|a-b|≥3．
对于集合A，如果定义了一种运算“⊕”，使得集合A中的元素间满足下列4个条件：
（ⅰ）∀a，b∈A，都有a⊕b∈A；
（ⅱ）∃e∈A，使得对∀a∈A，都有e⊕a=a⊕e=a；
（ⅲ）∀a∈A，∃a′∈A，使得a⊕a′=a′⊕a=e；
（ⅳ）∀a，b，c∈A，都有（a⊕b）⊕c=a⊕（b⊕c），
则称集合A对于运算“⊕”构成“对称集”．
下面给出三个集合及相应的运算“⊕”：
①A={整数}，运算“⊕”为普通加法；
②A={复数}，运算“⊕”为普通减法；
③A={正实数}，运算“⊕”为普通乘法．
其中可以构成“对称集”的有______．（把所有正确的序号都填上）
正确答案
①③
解析
解：①A={整数}，运算“⊕”为普通加法，根据加法运算可知满足4个条件，其中e=0，a、a′互为相反数；
②A={复数}，运算“⊕”为普通减法，不满足4个条件；
③A={正实数}，运算“⊕”为普通乘法，根据乘法运算可知满足4个条件，其中e=1，a、a′互为倒数．
故答案为：①③．
若集合A={x|ax=1}，B={1，2}，且A⊆B，则实数A所有取值构成的集合为（ ）
A{1，
B{0，1，
C{1}
D{
正确答案
解析
解：若a=0，A=∅，满足A⊆B；
若a≠0，则A={x|x=
∵A⊆B
∴
∴a=1，或
∴实数a所有取值构成的集合为{0，1，
故选B．
若集合A，B，C满足A⊊B⊆C，card（A）=3，card（C）=6，则满足条件不同的集合B共有______个．
正确答案
7
解析
解：不妨设A={0，1，2}，C={0，1，2，3，4，5}，
∴满足条件的B有如下：
B={0，1，2，3}，B={0，1，2，4}，B={0，1，2，5}，B={0，1，2，3，4}，B={0，1，2，3，5}，B={0，1，2，4，5}，B={0，1，2，3，4，5}，
则满足条件的集合A的个数为共7个
故答案为：7
己知集合p={x∈R|x2-3x+b=0}，Q={x∈R|（x+1）（x2+3x-4=0}
（1）若b=4时，存在集合M，使得P⊊M⊊Q，求出这样的集合M；
（2）P是否能成为Q的一个子集？若能．求b的取值或取值范围；若不能，请说明理由．
正确答案
解：（1）由于方程x2-3x+4=0的判别式△=9-16=-7＜0，知P=∅，
由（x+1）（x2+3x-4）=0得，x+1=0或x2+3x-4=0，解得x=-1或1或-4，Q={-1，1，-4}，
∵P⊊M⊆Q，∴集合M≠∅，且其元素全属于Q，即集合M为集合Q的非空子集：{1}或{-1}或{-4}或{-1，1}或{-1，-4}或{1，-4}或{-1，1，-4}．
（2）Q={-1，1，-4}，P⊆Q
P=∅，△=9-4b＜0，∴b＞
△=0，P={
∵x2-3x+b=0的两根的和为3，Q={-1，1，-4}，∴P⊆Q不成立，
∴P⊆Q，b＞
解析
解：（1）由于方程x2-3x+4=0的判别式△=9-16=-7＜0，知P=∅，
由（x+1）（x2+3x-4）=0得，x+1=0或x2+3x-4=0，解得x=-1或1或-4，Q={-1，1，-4}，
∵P⊊M⊆Q，∴集合M≠∅，且其元素全属于Q，即集合M为集合Q的非空子集：{1}或{-1}或{-4}或{-1，1}或{-1，-4}或{1，-4}或{-1，1，-4}．
（2）Q={-1，1，-4}，P⊆Q
P=∅，△=9-4b＜0，∴b＞
△=0，P={
∵x2-3x+b=0的两根的和为3，Q={-1，1，-4}，∴P⊆Q不成立，
∴P⊆Q，b＞
已知集合
（1）求A∩B；
（2）设M是由a可取的所有值组成的集合，试判断M与A∩B的关系．
正确答案
解：（1）由x+1≥0得x≥-1，
∴A=[-1，+∞）；
由y=-x2+2x-1=-（x-1）2得y≤0，
∴B=（-∞，0]，
∴A∩B=[-1，0]；
（2）由集合M只有一个元素，得a=0或
∴M={-1，0}，
∴M⊂（A∩B）．
解析
解：（1）由x+1≥0得x≥-1，
∴A=[-1，+∞）；
由y=-x2+2x-1=-（x-1）2得y≤0，
∴B=（-∞，0]，
∴A∩B=[-1，0]；
（2）由集合M只有一个元素，得a=0或
∴M={-1，0}，
∴M⊂（A∩B）．
下面写法正确的是（ ）
A0∈{（1，0）}
B
C（1，0）∈{（1，0）}
D（1，0）⊆{（1，0）}
正确答案
解析
解：对于A，{（1，0）}中只有一个元素是数对（1，0），所以A错；
对于B，，{（1，0）}中只有一个元素是数对（1，0），集合
对于C，{（1，0）}中只有一个元素是数对（1，0），所以（1，0）∈{（1，0）}，所以C对；
对于D，{（1，0）}中只有一个元素是数对（1，0），所以（1，0）是一个集合中的元素，关系应该为属于，所以D错．
故选C．
已知集合A={x|x2=1}，B={x|ax+1=3}，若B⊆A，则实数a的取值集合为（ ）
正确答案
解析
解：A={x|x2-1=0}={1，-1}，因为B⊆A，
所以若a=0，即B=∅时，满足条件．
若a≠0，则B={x|x=
若B⊆A，则
则实数a的取值的集合为{-2，0，2}
故选：A．
设集合M⊆{1，2，…，2011}，满足：在M的任意三个元素中，都可以找到两个元素a，b，使得a|b或b|a，求|M|的最大值（其中|M|表示集合M的元素个数）
正确答案
解：当M={1，2，22，23，…210，3，3×2，3×22，…，3×29}时满足条件，此时|M|=21
假设|M|≥22，设M中得元素为a1＜a2＜…＜ak（k≥22）
首先证明an+2≥2an，否则an＜an+1＜an+2＜2an，那么an，an+1，an+2中任意两个元素之间没有整数倍数关系，矛盾！
由上述结论知：a4≥2a2≥4，
a6≥2a4≥8，…
综上，|M|的最大值为21．
解析
解：当M={1，2，22，23，…210，3，3×2，3×22，…，3×29}时满足条件，此时|M|=21
假设|M|≥22，设M中得元素为a1＜a2＜…＜ak（k≥22）
首先证明an+2≥2an，否则an＜an+1＜an+2＜2an，那么an，an+1，an+2中任意两个元素之间没有整数倍数关系，矛盾！
由上述结论知：a4≥2a2≥4，
a6≥2a4≥8，…
综上，|M|的最大值为21．
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