集合_章节学习_百度题库

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题型：填空题

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填空题

下列关系中，正确的个数为______．

①∈R；

②∉Q；

③|-3|∉N*；

④|-|∈Q．

正确答案

2

解析

解：∵①∵∈R，故①正确；

②∵为无理数，Q为有理数集合，故②∉Q，正确；

③∵|-3|=3∈N*，故③|-3|∉N*错误；

④∵|-|=∉Q，故④错误；

综上所述，正确的选项为①②，

故答案为：2．

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题型：单选题

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单选题

集合A={1，2}，B={1，2，3}，则下列关系正确的是（　　）

AA=B

BA∩B=∅

CA⊆B

DA⊇B

正确答案

C

解析

解：由集合A={1，2}，B={1，2，3}，

得到A=B不正确，A∩B={1，2}得到A∩B=∅不正确，

A是B的子集，∴A⊆B正确．

故选：C．

1

题型：单选题

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单选题

设集合S={A0，A1，A2，A3}，在S上定义运算⊕为：Ai⊕Aj=Ak，其中k为i+j被4除的余数，i，j=0，1，2，3．则满足关系式（x⊕x）⊕A2=A0的x（x∈S）的个数为（　　）

A1

B2

C3

D4

正确答案

B

解析

解：当x=A0时，（x⊕x）⊕A2=（A0⊕A0）⊕A2=A0⊕A2=A2≠A0

当x=A1时，（x⊕x）⊕A2=（A1⊕A1）⊕A2=A2⊕A2=A4=A0

当x=A2时，（x⊕x）⊕A2=（A2⊕A2）⊕A2=A0⊕A2=A2≠A0

当x=A3时，（x⊕x）⊕A2=（A3⊕A3）⊕A2=A2⊕A2=A0=A0

则满足关系式（x⊕x）⊕A2=A0的x（x∈S）的个数为：2个．

故选B．

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题型：简答题

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简答题

对正整数n，记In={1，2，3…，n}，Pn={|m∈In，k∈In}．

（1）求集合P7中元素的个数；

（2）若Pn的子集A中任意两个元素之和不是整数的平方，则称A为“稀疏集”．求n的最大值，使Pn能分成两个不相交的稀疏集的并集．

正确答案

解：（1）对于集合P7 ，有n=7．

当k=1时，m=1，2，3…，7，Pn={1，2，3…，7}，7个数，

当k=2时，m=1，2，3…，7，Pn对应有7个数，

当k=3时，m=1，2，3…，7，Pn对应有7个数，

当k=4时，Pn={|m∈In，k∈In}=Pn={，1，，2，，3，}中有3个数（1，2，3）

与k=1时Pn中的数重复，

当k=5时，m=1，2，3…，7，Pn对应有7个数，

当k=6时，m=1，2，3…，7，Pn对应有7个数，

当k=7时，m=1，2，3…，7，Pn对应有7个数，

由此求得集合P7中元素的个数为 7×7-3=46．

（2）先证当n≥15时，Pn不能分成两个不相交的稀疏集的并集．假设当n≥15时，

Pn可以分成两个不相交的稀疏集的并集，设A和B为两个不相交的稀疏集，使A∪B=Pn⊇In ．

不妨设1∈A，则由于1+3=22，∴3∉A，即3∈B．同理可得，6∈A，10∈B．又推出15∈A，

但1+15=42，这与A为稀疏集相矛盾．

再证P14满足要求．当k=1时，P14={|m∈I14，k∈I14}=I14，可以分成2个稀疏集的并集．

事实上，只要取A1={1，2，4，6，9，11，13}，B1={3，5，7，8，10，12，14}，

则A1和B1都是稀疏集，且A1∪B1=I14．

当k=4时，集合{|m∈I14}中，除整数外，剩下的数组成集合{，，，…，}，

可以分为下列3个稀疏集的并：

A2={，，，}，B2={，，}．

当k=9时，集合{|m∈I14}中，除整数外，剩下的数组成集合{，，，，…，，}，

可以分为下列3个稀疏集的并：

A3={，，，，}，B3={，，，，}．

最后，集合C═{|m∈I14，k∈I14，且k≠1，4，9 }中的数的分母都是无理数，

它与Pn中的任何其他数之和都不是整数，

因此，令A=A1∪A2∪A3∪C，B=B1∪B2∪B3，则A和B是不相交的稀疏集，且A∪B=P14．

综上可得，n的最大值为14．

解析

解：（1）对于集合P7 ，有n=7．

当k=1时，m=1，2，3…，7，Pn={1，2，3…，7}，7个数，

当k=2时，m=1，2，3…，7，Pn对应有7个数，

当k=3时，m=1，2，3…，7，Pn对应有7个数，

当k=4时，Pn={|m∈In，k∈In}=Pn={，1，，2，，3，}中有3个数（1，2，3）

与k=1时Pn中的数重复，

当k=5时，m=1，2，3…，7，Pn对应有7个数，

当k=6时，m=1，2，3…，7，Pn对应有7个数，

当k=7时，m=1，2，3…，7，Pn对应有7个数，

由此求得集合P7中元素的个数为 7×7-3=46．

（2）先证当n≥15时，Pn不能分成两个不相交的稀疏集的并集．假设当n≥15时，

Pn可以分成两个不相交的稀疏集的并集，设A和B为两个不相交的稀疏集，使A∪B=Pn⊇In ．

不妨设1∈A，则由于1+3=22，∴3∉A，即3∈B．同理可得，6∈A，10∈B．又推出15∈A，

但1+15=42，这与A为稀疏集相矛盾．

再证P14满足要求．当k=1时，P14={|m∈I14，k∈I14}=I14，可以分成2个稀疏集的并集．

事实上，只要取A1={1，2，4，6，9，11，13}，B1={3，5，7，8，10，12，14}，

则A1和B1都是稀疏集，且A1∪B1=I14．

当k=4时，集合{|m∈I14}中，除整数外，剩下的数组成集合{，，，…，}，

可以分为下列3个稀疏集的并：

A2={，，，}，B2={，，}．

当k=9时，集合{|m∈I14}中，除整数外，剩下的数组成集合{，，，，…，，}，

可以分为下列3个稀疏集的并：

A3={，，，，}，B3={，，，，}．

最后，集合C═{|m∈I14，k∈I14，且k≠1，4，9 }中的数的分母都是无理数，

它与Pn中的任何其他数之和都不是整数，

因此，令A=A1∪A2∪A3∪C，B=B1∪B2∪B3，则A和B是不相交的稀疏集，且A∪B=P14．

综上可得，n的最大值为14．

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题型：单选题

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单选题

设集合A={x|x2-3|x|+2=0}，B={x|（a-2）x=2}则满足B⊊A的a的值共有（　　）个．

A2

B3

C4

D5

正确答案

D

解析

解：因为集合A={x|x2-3|x|+2=0}，

所以x=±1，±2；A={1，2，-1，-2}．

B⊊A，所以B=∅，{1}，{2}，{-1}，{-2}．

所以a=2，a=3，a=4，a=1，a=0，

满足题意的a值有5个．

故选D．

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题型：填空题

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填空题

已知集合M={x|mx+1-=0，x∈R}，若M=∅，则实数m的取值范围是______．

正确答案

m＜或m＞

解析

解：由题意，方程mx+1-=0无解，

令=t（t≥0），则x=t2+3，则

m（t2+3）+1-t=0在[0，+∞）上无解．

即mt2-t+1+3m=0，

则若m=0，方程有解．

若m＜0，则1+3m＜0，则m＜，

若m＞0，则△=1-4m（1+3m）＜0或，

解得，m＞，

故答案为：m＜或m＞．

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题型：单选题

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单选题

若集合A={x|x＜0或x＞1，x∈R}，B={x|x＞2，x∈R}，则（　　）

AA⊇B

BA=B

CA⊆B

DA∩B=∅

正确答案

A

解析

解：由集合的包含关系可知：B⊆A，

故选：A．

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题型：单选题

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单选题

设P={x|（）x＞}，Q={x|x2＜4}，则（　　）

AP⊆Q

BQ⊆P

CP⊆∁RQ

DQ⊆∁RP

正确答案

B

解析

解：P={x|（）x＞}={x|x＜3}，

Q={x|x2＜4}={x|-2＜x＜2}，

故Q⊆P；

故选B．

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题型：单选题

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单选题

已知集合A={-1，0，1}，B={1，m}．若B⊆A，则实数m的值是（　　）

A0

B-1

C0或-1

D-1或0或1

正确答案

C

解析

解：∵A={-1，0，1}，B={1，m}．

∴m≠1，

若B⊆A，则m=0或m=-1．

故选：C．

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题型：填空题

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填空题

已知A={x|x＞-3}，B={x|x＞m}，若B⊆A，则实数m的取值范围是______．

正确答案

m≥-3

解析

解：由已知A={x|x＞-3}，B={x|x＞m}，如图

要使B⊆A，只要实数m的取值范围m≥-3．

故答案为：m≥-3．

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