- 集合
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设集合
正确答案
1
解析
解：∵集合A={a，
∴a≠0，则必有
此时两集合为A={a，0，1}，集合Q={a2，a，0}，
∴a2=1，
∴a=-1或1，
当a=1时，集合为P={1，0，1}，集合Q={1，1，0}，不满足集合元素的互异性．
当a=-1时，P={-1，0，1}，集合Q={1，-1，0}，满足条件，
故a=-1，b=0．
a2014+b2015=1，
故答案为：1．
设集合A={0，1}，B={-1，0，m-2}，若A⊆B，则实数m=（ ）
正确答案
解析
解：∵集合A={0，1}，∴1∈A．
∵A⊆B，∴1∈B．
∵B={-1，0，m-2}，∴1=m-2．
∴m=3．
故选：D．
若{a}⊆A⊆{a，b，c}，则集合A的个数有 ______个．
正确答案
4
解析
解：∵{a}⊆A⊆{a，b，c}，∴a∈A，
∴A可能是{a}，{a，b}，{a，c}，{a，b，c}，共有4个．
故答案为：4．
已知α：集合E={x|-1＜x＜3}，F={x|x＞m}，E⊈F；β：m∈{x|x≤-1}，则α与β的推出关系（ ）
正确答案
解析
解：∵集合E={x|-1＜x＜3}，F={x|x＞m}，E⊈F，
∴m＞-1，
∴α≠＞β．
∵m∈{x|x≤-1}，
集合E={x|-1＜x＜3}，F={x|x＞m}，
∴E⊊F，
∴β≠＞α．
故选D．
已知集合A={x|0＜log2x＜1}，集合B={x|2
（1）求A∪B；
（2）设集合P={x|a＜x＜a+2}，若P⊊（A∪B），求实数a的取值范围．
正确答案
解：（1）A=（1，2），B=（1.5，4），∴A∪B=（1，4）；
（2）∵集合P={x|a＜x＜a+2}，P⊊（A∪B），
∴
∴1≤a≤2．
解析
解：（1）A=（1，2），B=（1.5，4），∴A∪B=（1，4）；
（2）∵集合P={x|a＜x＜a+2}，P⊊（A∪B），
∴
∴1≤a≤2．
集合A={x|x2-3x+2=0，x∈R}，集合B={x|2x2-ax+2=0，x∈R}，若A∪B=A，求实数a的范围．
正确答案
解：因为A∪B=A，所以B⊆A，
因为A={x|x2-3x+2=0}={1，2}，所以要使B⊆A，则有
①若B=∅，则△=a2-16＜0，解得-4＜a＜4．
②若B≠∅，则B={1}或B={2}或B={1，2}．
若B={1}，
若B={2}，
若B={1，2}，
综上：a的取值范围是-4＜a≤4．
解析
解：因为A∪B=A，所以B⊆A，
因为A={x|x2-3x+2=0}={1，2}，所以要使B⊆A，则有
①若B=∅，则△=a2-16＜0，解得-4＜a＜4．
②若B≠∅，则B={1}或B={2}或B={1，2}．
若B={1}，
若B={2}，
若B={1，2}，
综上：a的取值范围是-4＜a≤4．
（文）若A、B是两个不等的非空集合，则下列式子中一定成立的是（ ）
正确答案
解析
解：∵A、B是两个不等的非空集合，
∴A∩B有可能是非空集合，有可能是∅，
∵∅是任何集合的子集，
∴∅⊆A．
故选C．
已知全集U={1，2，3，4，…，n}，集合A满足①A⊆U；②若x∈A，则kx∉A；③若x∈∁UA，则kx∉∁UA，（其中k，n∈N*）；fk（n）表示满足条件的集合A的个数．
（1）求f2（4），f2（5）；
（2）求f3（2013）；
（3）记集合A的所有元素之和为集合A的“和”，当n=pk+q时，（其中p，q∈N，0≤q＜k），求所有集合A的“和”的和．
正确答案
解：（1）由题意知，当n=4，k=2时，
满足条件的集合A有：{1，4}，{1，3，4}，{2}，{2，3}，
∴f2（4）=4．
当n=5时，k=2时，满足条件的集合A有：
{1，4}，{1，3，4}，{1，4，5}，{1，3，4，5}，{2}，{2，5}，{2，3}，{2，3，5}，
∴f2（5）=8．
（2）当n=2013，k=3时，任取x∈U，则x可以表示为：
x=m•3t，其中t∈N，m不能被3整除，
由题意知：若m∈A，则x∈A⇔t为偶数；
若m∉A，则x∈A⇔t为奇数，
设B是由U中所有不被3整除的数构成的集合，
则f3（2013）等于B的子集个数，
∴f3（2013）=22013-671=21342．
（3）由（2），同理可知，当n=pk+q时，
而U中每个元素在所有集合中出现的次数均相同，都为2n-p-1，
共有2n-p-1对符合条件的A与CUA，
故所有集合A的“和”之和为：
（1+2+3+…+n）×2n-p-1=n（n+1）•2n-p-2．
解析
解：（1）由题意知，当n=4，k=2时，
满足条件的集合A有：{1，4}，{1，3，4}，{2}，{2，3}，
∴f2（4）=4．
当n=5时，k=2时，满足条件的集合A有：
{1，4}，{1，3，4}，{1，4，5}，{1，3，4，5}，{2}，{2，5}，{2，3}，{2，3，5}，
∴f2（5）=8．
（2）当n=2013，k=3时，任取x∈U，则x可以表示为：
x=m•3t，其中t∈N，m不能被3整除，
由题意知：若m∈A，则x∈A⇔t为偶数；
若m∉A，则x∈A⇔t为奇数，
设B是由U中所有不被3整除的数构成的集合，
则f3（2013）等于B的子集个数，
∴f3（2013）=22013-671=21342．
（3）由（2），同理可知，当n=pk+q时，
而U中每个元素在所有集合中出现的次数均相同，都为2n-p-1，
共有2n-p-1对符合条件的A与CUA，
故所有集合A的“和”之和为：
（1+2+3+…+n）×2n-p-1=n（n+1）•2n-p-2．
已知集合M={x|f（x）-x=0，x∈R}与集合N={x|f[f（x）]-x=0，x∈R}，其中f（x）是一个二次项系数系数为1的二次函数．
（1）判断M与N的关系；
（2）若M是单元素集合，求证：M=N．
正确答案
解：（1）对于任意的x∈M，则f（x）=x，∴f[f（x）]-x=f（x）-x=0；
即任意的x∈M，都有x∈N，∴M⊆N；
若设0∈N，设f（x）=x2+bx+c，f（0）=c，f[f（0）]=f（c）=c（c+b+1），可以让c+b+1=0，而c≠0；
即f[f（0）]=0，而f（0）≠0，∴0∉M；
∴M⊊N；
（2）证明：设x1∈M，x1∈N，x2∈N，f（x2）=t；
则：f[f（x2）]-x2=0，即f（t）-x2=0，f（t）=x2；
∵M是单元素集合，所以x1是方程：f（x）-x=x2+（b-1）x+c=0的唯一实根；
令g（x）=x2+（b-1）x+c，则该函数值域为[0，+∞），只有x=x1时，g（x）=0；
则由f（x2）=t得，
由f（t）=x2得，t2+bt+c=x2，∴t2+（b-1）t+c=x2-t≥0，即x2≥t；
∴t＞x2和x2≥t不可能，即x2∉N，即M，N都只有一个元素x1；
∴M=N．
解析
解：（1）对于任意的x∈M，则f（x）=x，∴f[f（x）]-x=f（x）-x=0；
即任意的x∈M，都有x∈N，∴M⊆N；
若设0∈N，设f（x）=x2+bx+c，f（0）=c，f[f（0）]=f（c）=c（c+b+1），可以让c+b+1=0，而c≠0；
即f[f（0）]=0，而f（0）≠0，∴0∉M；
∴M⊊N；
（2）证明：设x1∈M，x1∈N，x2∈N，f（x2）=t；
则：f[f（x2）]-x2=0，即f（t）-x2=0，f（t）=x2；
∵M是单元素集合，所以x1是方程：f（x）-x=x2+（b-1）x+c=0的唯一实根；
令g（x）=x2+（b-1）x+c，则该函数值域为[0，+∞），只有x=x1时，g（x）=0；
则由f（x2）=t得，
由f（t）=x2得，t2+bt+c=x2，∴t2+（b-1）t+c=x2-t≥0，即x2≥t；
∴t＞x2和x2≥t不可能，即x2∉N，即M，N都只有一个元素x1；
∴M=N．
已知集合A={x|x2+4x=0}，函数B={x|x2+2（a+1）x+a2-1=0}．
（1）求使A∩B=B的实数a的取值范围；
（2）使A∪B=B的实数a的取值．
正确答案
解：（1）∵A={x|x2+4x=0}={-4，0}，又∵A∩B=B，即A⊇B．
∴B=∅或{0}或{-4}或{0，-4}．
当B=∅时，方程x2+2（a+1）x+a2-1=0无实数解，
∴△=4（a+1）2-4（a2-1）＜0．
解得a＜-1．
当B={0}或{-4}时，方程x2+2（a+1）x+a2-1=0有两个相等实数根，
∴△=4（a+1）2-4（a2-1）=0，得a=-1，此时B={0}，满足题意．
当B={-4，0}时，方程x2+2（a+1）x+a2-1=0有两个不相等实数根-4，0，
则-2（a+1）=-4+0且a2-1=0，
解得a=1，此时B={x|x2+4x=0}={-4，0}，满足题意．
综合以上可知a≤-1或a=1．
（2）由（1）得A={0，-4}．A∪B=B，即A⊆B．
又∵B为二次方程解集，其中最多有2个元素，
∴B={0，-4}，即方程x2+2（a+1）x+a2-1=0有两根为0和-4．
由（1）可得a=1．
因此，若A∪B=B，则a=1．
解析
解：（1）∵A={x|x2+4x=0}={-4，0}，又∵A∩B=B，即A⊇B．
∴B=∅或{0}或{-4}或{0，-4}．
当B=∅时，方程x2+2（a+1）x+a2-1=0无实数解，
∴△=4（a+1）2-4（a2-1）＜0．
解得a＜-1．
当B={0}或{-4}时，方程x2+2（a+1）x+a2-1=0有两个相等实数根，
∴△=4（a+1）2-4（a2-1）=0，得a=-1，此时B={0}，满足题意．
当B={-4，0}时，方程x2+2（a+1）x+a2-1=0有两个不相等实数根-4，0，
则-2（a+1）=-4+0且a2-1=0，
解得a=1，此时B={x|x2+4x=0}={-4，0}，满足题意．
综合以上可知a≤-1或a=1．
（2）由（1）得A={0，-4}．A∪B=B，即A⊆B．
又∵B为二次方程解集，其中最多有2个元素，
∴B={0，-4}，即方程x2+2（a+1）x+a2-1=0有两根为0和-4．
由（1）可得a=1．
因此，若A∪B=B，则a=1．
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