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题型:填空题
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填空题

从集合U={1,2,3,4}的子集中选出4个不同的子集,需同时满足以下两个条件:①∅,U都要选出;②对选出的任意子集A和B,必有A⊆B或A⊇B.那么共有______不同的选法.

正确答案

因为U,∅都要选出,而所有任意两个子集的组合必须有包含关系,故各个子集所包含的元素个数必须依次递增

①如果一个子集含有1个元素,另外一个子集含有2个或3个元素,则含有1个元素的子集有4个,另外一个子集含有2个元素(一个已定,4个只剩下3个选择)有=3个,故共有可能性=4×3=12个;另外一个子集含有3个元素(共有)有=3个

共有可能性=4×3=12个

②如果两个子集含有多于1个元素,则一个子集是含有2个元素,另外一个子集含有3个元素,含有2个元素的子集有6个,另外一个子集含有3个元素(两个元素已定,剩下2个可供选择)有2个,共有可能性=6×2=12个

所以共有=12+12+12=36个

故答案为:36

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题型:填空题
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填空题

设集合A={x|x=(2n+1)180°,n∈Z},与集合B={y|y=(4k±1)180°,n∈Z}之间的关系是______.

正确答案

因为n∈Z,所以令n=2m,n=2m-1,

所以集合A={x|x=(2n+1)180°,n∈Z}={x|x=(4m+1)180°或x=(4m-1)180°,m∈Z},

又因为集合B={y|y=(4k±1)180°,k∈Z},

所以A=B.

故答案为:A=B.

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题型:填空题
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填空题

设集合A={x|x>-1},则集合{0}与集合A之间的关系是______.

正确答案

∵0包含在x>-1里,且这个范围除去0之外还有其他的元素,

∴集合{0}与集合A之间的关系是{0}⊂A

故答案为:{0}⊂A

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题型:填空题
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填空题

已知集合A={-2,3,4m-4},集合B={3,m2}.若B⊆A,则实数m=______.

正确答案

∵集合A={-2,3,4m-4},集合B={3,m2}.

若B⊆A,

则m2=4m-4,即m2-4m+4=(m-2)2=0

解得:m=2

故答案为:2

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题型:简答题
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简答题

设不等式x2≤5x-4的解集为A.

(Ⅰ)求集合A;

(Ⅱ)设关于x的不等式x2-(a+2)x+2a≤0的解集为M,若M⊆A,求实数a的取值范围.

正确答案

(Ⅰ)原不等式即为x2-5x+4=(x-1)(x-4)≤0,所以1≤x≤4(4分)

所以不等式的解集A=x|1≤x≤4(6分)

(Ⅱ)不等式等价于(x-a)(x-2)≤0(7分)

若a<2,则M=[a,2],要M⊆A,只需1≤a<2(9分)

若a>2,则M=[2,a],要M⊆A,只需2<a≤4(11分)

若a=2,则M=2,符合M⊆A(13分)

综上所述,a的取值范围为[1,4].(14分)

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题型:填空题
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填空题

设A={1,2,3,4},B={1,2},则满足B⊆C⊊A的集合C有______个.

正确答案

∵B⊆C⊊A

∴满足条件的集合C中必包含1和2两个元素,但不能等于集合A

故C={1,2},{1,2,3},{1,2,4}

故答案为:3

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题型:简答题
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简答题

已知:A={x|a≤x≤a+3},B={x|x<-1或x>5}

(1)若A∩B=∅,求实数a的取值范围.

(2)若A∪B=B,求实数a的取值范围.

正确答案

(1)∵A∩B=φ

-1≤a≤2,即a的取值范围[-1,2].

(2)∵A∪B=B∴A⊆B

∴a>5或a+3<-1

即a的取值范围(-∞,-4)∪(5,+∞).

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题型:简答题
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简答题

设集合P={1,a,b},Q={1,a2,b2},已知P=Q,求1+a2+b2的值.

正确答案

∵P=Q,

①或

解①得a=0或a=1,b=0或b=1.(舍去)

由②得a=b2=a4,∴a=1或a3=1.

a=1不合题意,∴a3=1(a≠1).

∴a2+a+1=0

∴a=ω,b=ω2,其中ω=-+i.

故1+a2+b2=1+ω24=1+ω+ω2=0.

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题型:简答题
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简答题

已知集合A={x|x2+a≤(a+1)x,a∈R}.

(1)是否存在实数a,使得集合A中所有整数的元素和为28?若存在,求出符合条件的a,若不存在,请说明理由.

(2)若以a为首项,a为公比的等比数列前n项和记为Sn,对于任意的n∈N+,均有Sn∈A,求a的取值范围.

正确答案

(1)当a<1时,A={x|a≤x≤1},不符合;

当a≥1时,A={x|-2≤x≤1},设a∈[n,n+1),n∈N,则

1+2++n==28,

所以n=7,即a∈[7,8)

(2)当a≥1时,A={x|1≤x≤a}.而S2=a+a2∉A,故a≥1时,不存在满足条件的a;

当0<a<1时,A={a≤x≤1},而Sn=是关于n的增函数,

所以Sn随n的增大而增大,

当Sn<且无限接近时,对任意的n∈N+,Sn∈A,只须a满足解得0<a≤

当a<-1时,A={x|a≤x≤1}.

而S3-a=a2+a3=a2(1+a)<0,S3∉A故不存在实数a满足条件.

当a=-1时,A={x|-1≤x≤1}.S2n-1=-1,S2n=0,适合.

⑤当-1<a<0时,A={x|a≤x≤1}.S2n+1=S2n-1+a2n+a2n+1=S2n-1+a2n+a2n+1=S2n-1+a2n(1+a)>S2n-1,S2n+2=S2n+a2n+1+a2n+2=S2n+a2n+1+a2n+2=S2n+a2n+1(1+a)<S2n

∴S2n-1<S2n+1,S2n+2<S2n,且S2=S1+a2>S1

故S1<S3<S5<…<S2n+1<S2n<S2n-2<…<S4<S2

故只需

解得-1<a<0.

综上所述,a的取值范围是{a|0<a≤或-1≤a<0}.

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题型:填空题
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填空题

已知集合C={x∈Z|2x2-x-1=0}满足条件B⊆C的所有集合B的个数为______.

正确答案

由2x2-x-1=0,解得x=1,或-,又因为x∈Z,∴x=1.即集合C={1}.

而集合C的子集只有空集Φ和它本身C,故满足条件B⊆C的所有集合B的个数为 2.

故答案是2.

下一知识点 : 函数及其表示
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