- 集合
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已知集合A={x∈R|x2+2x+a=0}．
（1）若A中只有一个元素，求实数a的值，并求出这个元素；
（2）若A中至多有一个元素，求实数a的取值范围．
正确答案
解：（1）若集合A={x|x2+2ax+1=0，a∈R，x∈R}中只有一个元素，
则关于x的一元二次方程x2+2ax+1=0有两个相等的实根，
即：△=4a2-4=0，解得，a=±1，
∴a=1时，解x2+2x+1=0，解得：x=-1，
a=-1时，解x2-2x+1=0，解得：x=1；
（2）若集合A={x|x2+2ax+1=0，a∈R，x∈R}中至多一个元素，
则△=4a2-4≤0
解得：-1≤a≤1．
解析
解：（1）若集合A={x|x2+2ax+1=0，a∈R，x∈R}中只有一个元素，
则关于x的一元二次方程x2+2ax+1=0有两个相等的实根，
即：△=4a2-4=0，解得，a=±1，
∴a=1时，解x2+2x+1=0，解得：x=-1，
a=-1时，解x2-2x+1=0，解得：x=1；
（2）若集合A={x|x2+2ax+1=0，a∈R，x∈R}中至多一个元素，
则△=4a2-4≤0
解得：-1≤a≤1．
设A={y|y=-1+x-2x2}，若m∈A，则必有（ ）
正确答案
解析
解：y=
∴若m∈A则m＜0，所以m∈{负实数}．
故选D．
设-5∈{x|x2-ax-5=0}，则集合{x|x2-4x-a=0}中所有元素之和为______．
正确答案
2
解析
解：因为-5∈{x|x2-ax-5=0}，
所以25+5a-5=0，所以a=-4，
x2-4x-a=0即x2-4x+4=0，解得x=2，所以集合{x|x2-4x-a=0}={2}．
集合{x|x2-4x-a=0}中所有元素之和为：2．
故答案为：2．
在整数集Z中，被5除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记为[k]，即[k]={5n+k|n∈Z}，k=0，1，2，3，4．给出如下四个结论：
①2013∈[3]；
②-2∈[2]；
③Z=[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]；
④当且仅当“a-b∈[0]”整数a，b属于同一“类”．
其中，正确结论的个数为．（ ）
正确答案
解析
解：①∵2013÷5=402…3，∴2013∈[3]，故①正确；
②∵-2=5×（-1）+3，∴-2∈[3]，故②错误；
③∵整数集中的数被5除的数可以且只可以分成五类，故Z=[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]，故③正确；
④∵整数a，b属于同一“类”，∴整数a，b被5除的余数相同，从而a-b被5除的余数为0，
反之也成立，故当且仅当“a-b∈[0]”整数a，b属于同一“类”．故④正确．
正确的结论为①③④．
故选：C．
设M=a{a|a=x2-y2，x，y∈Z}．
（1）求证：2k+1∈M，（其中k∈Z）；
（2）求证：4k-2∉M，（其中k∈Z）
（3）属于M的两个整数，其积是否属于M．
正确答案
解：（1）证明：令x=k+1，y=k，k∈Z；
则a=x2-y2=2k+1∈M．
（2）假设4k-2∈M，
那么4k-2=x2-y2，x，y∈Z，
则
则
则（x-y）（x+y）=2k（2k+1），
又∵（x-y）（x+y）不可以是一奇一偶的乘积，
∴4k-2∉M，（k∈Z）；
（3）设a1，a2∈M，则
a1a2=（x12-y12）（x22-y22）
=x12x22+y12y22-（x22y12+x12y22）
=（x1x2+y1y2）2-（x2y1+x1y2）2∈M．
解析
解：（1）证明：令x=k+1，y=k，k∈Z；
则a=x2-y2=2k+1∈M．
（2）假设4k-2∈M，
那么4k-2=x2-y2，x，y∈Z，
则
则
则（x-y）（x+y）=2k（2k+1），
又∵（x-y）（x+y）不可以是一奇一偶的乘积，
∴4k-2∉M，（k∈Z）；
（3）设a1，a2∈M，则
a1a2=（x12-y12）（x22-y22）
=x12x22+y12y22-（x22y12+x12y22）
=（x1x2+y1y2）2-（x2y1+x1y2）2∈M．
当a，b在实数范围内变化时，函数f（x）=acosx+bsinx的全体记为集合M．
（1）求证：当a1=a2，b1=b2（a1，a2，b1，b2∈R）不同时成立时，f1（x）=a1cosx+b1sinx和f2（x）=a2cosx+b2sinx是集合M中的两个不同的元素；
（2）若f0（x）=a0cosx+b0sinx∈M，对任意t∈R，函数f0（x+t）的全体记为集合A，证明：A⊆M．
正确答案
（1）：反证法，假设f1（x）=f2（x）
（a1-a2）cosx+（b1-b2）sinx=0
M中元素样式中，x是变量，cosx有不为零的可能，当cosx≠0时，
（a1-a2）+（b1-b2）tanx=0，
∵以tanx为变量的一元一次方程有无数个解，
∴
与a1，a2，b1，b2不同时相等矛盾；
（2）对于任意的t，
f0（x+t）
=a0cos（x+t）+b0sin（x+t）
=a0（cosxcost-sinxsint）+b0（sinxcost+cosxsint）
=（a0cost+b0sint）cosx+（b0cost-a0sint）sint，
令a0cost+b0sint=at，b0cost-a0sint=bt，
则f0（x+t）
=（a0cost+b0sint）cosx+（b0cost-a0sint）sint
=atcosx+btsint∈M，
原命题得证．
解析
（1）：反证法，假设f1（x）=f2（x）
（a1-a2）cosx+（b1-b2）sinx=0
M中元素样式中，x是变量，cosx有不为零的可能，当cosx≠0时，
（a1-a2）+（b1-b2）tanx=0，
∵以tanx为变量的一元一次方程有无数个解，
∴
与a1，a2，b1，b2不同时相等矛盾；
（2）对于任意的t，
f0（x+t）
=a0cos（x+t）+b0sin（x+t）
=a0（cosxcost-sinxsint）+b0（sinxcost+cosxsint）
=（a0cost+b0sint）cosx+（b0cost-a0sint）sint，
令a0cost+b0sint=at，b0cost-a0sint=bt，
则f0（x+t）
=（a0cost+b0sint）cosx+（b0cost-a0sint）sint
=atcosx+btsint∈M，
原命题得证．
下列各式：①1∈{0，1，2}；②∅⊆{0，1，2}；③{1}∈{0，1，2004}；④{0，1，2}⊆{0，1，2}；⑤{0，1，2}={2，0，1}，其中错误的个数是（ ）
正确答案
解析
解：：①1∈{0，1，2}，元素与集合之间用属于符号，故正确；
②∅⊆{0，1，2}；空集是任何集合的子集，正确
③{1}∈{0，1，2004}；集合与集合之间不能用属于符号，故不正确；
④{0，1，2}⊆{0，1，2}，集合本身是集合的子集，故正确
⑤{0，1，2}={2，0，1}，根据集合的无序性可知正确；
故选：A
用C（A）表示非空集合A中元素个数，定义A*B=
A0
B0，-
C0，2
D-2
正确答案
解析
解：由于（x2+ax）（x2+ax+2）=0等价于x2+ax=0①或x2+ax+2=0②，
又由A={1，2}，且A*B=1，
∴集合B要么是单元素集合，要么是三元素集合，
1°集合B是单元素集合，则方程①有两相等实根，②无实数根，
∴a=0；
2°集合B是三元素集合，则方程①有两不相等实根，②有两个相等且异于①的实数根，
即
解得a=±2
综上所述a=0或a=±2
故选：D．
已知集合M={m∈R|m≤
正确答案
解析
解：
∴
∴a∈M，且存在
∴{a}是M的真子集．
故选：C．
已知集合A={x|x=a+b
正确答案
∈
解析
解：∵集合A={x|x=a+b
∴取a=b=1，可得
故答案为：∈．
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