热门试卷

解：（1）若x=1正确，则y≠1正确，不符合只有一个正确；

（2）若y≠1正确，则x≠1，z≠2；

∴z=1，x=2，y=3，或z=1，x=3，y=2；

（3）若z=2正确，则x≠1，y=1；

∴x=3，y=1，z=2；

∴符合条件的有序数组（x，y，z）为：（2，3，1），（3，2，1），（3，1，2）．

解：(1)=（1，0，1，0，1），

d(A，B)=|0-1|+|1-1|+|0-1|+|0-0|+|1-0|=3。

(2)证明：设，

因为，

所以，

从而，

又，

由题意知∈{0，1}（i=1，2，…n），

当ci=0时，；

当ci=1时，，

所以。

(3)证明：设，

d(A，B)=k，d(A，C)=l，d(B，C)=h，

记O=(0，0，…，0)∈Sn，

由(2)可知，

，

，

所以(i=1，2，…，n)中1的个数为k，

(i=1，2，…，n)中1的个数为l，

设t是使成立的i的个数，则h=l+k-2t，

由此可知，k，l，h三个数不可能都是奇数，

即d(A，B)，d(A，C)，d(B，C)三个数中至少有一个是偶数。

（I）因为f′(x)=-，所以f′（x）∈[，]，满足条件0＜f′（x）＜1，

又因为当x=0时，f（0）-0=1＞0，f（π）-π=-1-π＜0，

所以方程f（x）-x=0有实数根．

所以函数f(x)=+是的集合M中的元素．（3分）

（II）假设方程f（x）-x=0存在两个实数根α，β（α≠β），

则f（α）-α=0，f（β）-β=0不妨设α＜β，根据题意存在数c⊆（α，β）

使得等式f（β）-f（α）=（β-α）f'（c）成立．

因为f（α）=α，f（β）=β，且α≠β，

所以f'（c）=1，

与已知0＜f'（x）＜1矛盾，

所以方程f（x）-x=0只有一个实数根；（8分）

（III）不妨设x2＜x3，因为f'（x）＞0，

所以f（x）为增函数，

所以f（x2）＜f（x3），

又因为f'（x）-1＜0，

所以函数f（x）-x为减函数，

所以f（x2）-x2＞f（x3）-x3，

所以0＜f（x3）-f（x2）＜x3-x2，

即|f（x3）-f（x2）|＜|x3-x2|，

所以|f（x3）-f（x2）|＜|x3-x2|=|x3-x1-（x2-x1）|≤|x3-x1|+|x2-x1|＜2（14分）

解：(1)当n=10时，集合A={1，2，3，…，19，20}，

B={x∈A|x＞9}={10，11，12，…，19，20}不具有性质P．

因为对任意不大于10的正整数m，都可以找到该集合中两个元素b1=10与b2=10+m，使得|b1-b2|=m成立。

集合C={x∈A|x=3k-1，k∈N*}具有性质P．

因为可取m=1＜10，对于该集合中任意一对元素c1=3k1-1，c2=3k2-1，k1，k2∈N*，

都有|c1-c2|=3|k1-k2|≠1。

(2)当n=1000时，则A={1，2，3，…，1999，2 000}，

①若集合S具有性质P，那么集合T={2001-x|x∈S}一定具有性质P．

首先因为T={2 001-x|x∈S}，任取t=2001-x0∈T，其中x0∈S，

因为SA，所以x0∈{1，2，3，…，2 000}，

从而1≤2 001-x0≤2000，即t∈A，所以TA．

由S具有性质P，可知存在不大于1000的正整数m，

使得对S中的任意一对元素s1，s2，都有|s1-s2|≠m，

对于上述正整数m，从集合T={2001-x|x∈S}中任取一对元素t1=2001-x1，t2=2001-x2，其中x1，x2∈S， 则有|t1-t2|=|x1-x2|≠m，所以集合T= {200-x|x∈S}具有性质P。

②设集合S有k个元素，由第①问知，若集合S具有性质P，那么集合T={2001-x|x∈S} 一定具有性质P．

任给x∈S，1≤x≤2 000，则x与2001-x中必有一个不超过1 000，

所以集合S与T中必有一个集合中至少存在一半元素不超过1 000，

不妨设S中有个元素b1，b2，…，bt不超过1 000，

由集合S具有性质P，可知存在正整数m≤1000，使得对S中任意两个元素s1，s2，都有|s1-s2|≠m，

所以一定有b1+m，b2+m，…，bt+mS，

又bi+m≤1 000 +1 000=2 000，故b1+m，b2+m，…，bt+m∈A，

即集合A中至少有t个元素不在子集S中，

因此，所以，得k≤1 333，

当S={1，2，…，665 ，666，1 334，…，1 999，2 000}时，

取m=667，则易知对集合S中任意两个元素y1，y2，都有|y1-y2|≠667，即集合S具有性质P，

而此时集合S中有1 333个元素，

因此集合S的元素个数的最大值是1 333。

解：（1）解：集合{0，1，2，3}不具有性质P

集合{-1，2，3}具有性质P，

其相应的集合S和T是

S={（-1，3），（3，-1）}，

T={（2，-1），（2，3）}。

（2）首先，由A中元素构成的有序数对共有个

因为，

所以；又

因为当时，，

所以当时，

从而，集合T中元素的个数最多为，

即。

（3），证明如下：

（i）对于，根据定义，，且，

从而

如果与是S的不同元素，那么与中至少有一个不成立，

从而与中也至少有一个不成立

故与也是T的不同元素

可见，S中元素的个数不多于中元素的个数，即，

（ii）对于，根据定义，，，且，

从而

如果与是T的不同元素，那么与中至少有一个不成立，

从而与中也不至少有一个不成立，

故与也是S的不同元素

可见，T中元素的个数不多于S中元素的个数，即，

由（i）（ii）可知，。

解：（1）设是线段上一点，则

当时，；

（2）设线段l的端点分别为，以直线为x轴，的中点为原点建立直角坐标系，则，点集D由如下曲线围成

其面积为：

（3）① 选择，

② 选择

③ 选择

。

∵1是集合A中的一个元素，

∴1是关于x的方程ax2+2x+1=0的一个根，

∴a•12+2×1+1=0，即a=-3．

方程即为-3x2+2x+1=0，

解这个方程，得x1=1，x2=-，

∴集合A={-，1}．

（1）由2∈A，则=-3∈A，又由-3∈A，得=-∈A，

再由-∈A，得=∈A，

而∈A，得=2∈A，

故A中元素为2，-3，-，．

（2）0不是A的元素．若0∈A，则=1∈A，

而当1∈A时，不存在，故0不是A的元素．

取a=3，可得A={3，-2，-，}．