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题型:简答题
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简答题

已知集合A={x|x2-4ax+2a+6=0,x∈R},集合B={x|x<0},若A∩B≠∅,求实数a的取值范围.

正确答案

(法1):因为A∩B≠∅,所以方程x2-4ax+2a+6=0有负根;…(1分)

设方程的根为x1,x2

(1)恰有一个负根:…(3分)

解得:…(5分)

即a≤-3…(6分)

(2)恰有2个负根…(7分)

解得:…(8分)

即-3<a≤-1…(9分)

所以a的取值范围是{a|a≤-1}…(10分)

(法2):因为x2-4ax+2a+6=0有负根,所以a=(x<0)有解,

设y=(x<0),

令t=4x-2<-2,换元得y==(t++4)≤-1

所以a≤-1

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题型:简答题
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简答题

已知集合A={x|x2-4x-5≤0},B={x|x2-2x-m<0}.

(1)当m=3时,求A∩∁RB;

(2)若A∩B={x|-1≤x<4},求实数m的值.

正确答案

(1)A={x|x2-4x-5≤0}={x|-1≤x≤5},

当m=3时,B={x|-1<x<3},

则∁RB={x|x≤-1或x≥3},

∴A∩∁RB={x|x=-1或3≤x≤5}.

(2)∵A∩B={x|-1≤x<4},

∴x=4是方程x2-2x-m=0的一个根,

∴有42-2×4-m=0,解得m=8,

此时B={x|-2<x<4}符合题意.

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题型:简答题
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简答题

关于x的不等式<1的解集为P,不等式|x-1|≤1的解集为Q,若P⊆Q,求实数a的取值范围.

正确答案

∵Q={|x-1|≤1}={x|0≤x≤2},P⊆Q,…(3分)

对于<1,当a=2时,P=φ,符合题意.…(6分)

当a>2时,P={x|1<x<a-1},此时只需a-1≤2,即2<a≤3.…(8分)

当a<2时,P={x|a-1<x<1},此时只需a-1≥0,即1≤a<2.…(10分)

综上1≤a≤3为所求.…(12分)

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题型:简答题
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简答题

已知集合A={x丨-3≤x<0},集合B={x丨2-x>x2}

(1)求A∩B;

(2)若集合C={x丨2a≤x≤a+2},且(A∩B)⊆C,求实数a的取值范围.

正确答案

解(1)由已知得A=[-3,0),

由2-x>x2 解得B=(-2,1),所以A∩B=(-2,0);    

(2)由(1)知,A∩B=(-2,0)

又由集合C={x丨2a≤x≤a+2},且(A∩B)⊆C,

,解得-2≤a≤-1

则此时实数a的取值范围为(-2,-1).

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题型:填空题
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填空题

若{an}是等差数列,公差为d且不为d≠0,a1,d∈R,它的前n项和记为Sn,设集合P={(x,y)|-y2=1,x,y∈R},Q={(x,y)|x=an,y=,n∈N*}给出下列命题:(1)集合Q表示的图形是一条直线;(2)P∩Q=∅(3)P∩Q只有一个元素(4)P∩Q可以有两个元素(5)P∩Q至多有一个元素.其中正确的命题序号是 ______(注:把你认为是正确命题的序号都填上)

正确答案

设y=,x=an由等差数列求和公式得Sn=na1+[n(n-1)d]

则y=a1+[(n-1)d]

又x=a1+(n-1)d

易得2y=x+a1集合Q表示的图形是一条直线上不连续的点,①不正确.

把方程2y=x+a1与双曲线方程联立得2xa1-a12-4=0

∴直线2y=x+a1与双曲线最多有一个焦点,即P∩Q至多有一个元素.②③④均不正确,⑤正确.

故答案为:⑤

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题型:填空题
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填空题

设集合是A={a|f(x)=8x3-3ax+6x(0,+∞)上的增函数},B={y|y=,x∈[-1,3]},则∁R(A∩B)=______.

正确答案

因为f(x)=8x3-3ax+6x(0,+∞)上的增函数,所以f′(x)=24x2-3a+6,在(0,+∞)上的增函数

所以导函数恒为正,f′(0)=-3a+6≥0,所以a≤2,所以A={a|a≤2}.即A=(-∞,2]

y=,x∈[-1,3],所以y∈[1,5].

B=[1,5].

所以A∩B=[1,2].

R(A∩B)=(-∞,1)∪(2,+∞).

故答案为:(-∞,1)∪(2,+∞).

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题型:简答题
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简答题

已知集合A={x|x2-2x-3≤0,x∈R},B={x||x-m|≤2,x∈R}

(Ⅰ)若A∩B=[0,3],求实数m的值

(Ⅱ)若A⊆CRB,求实数m的取值范围.

正确答案

(I)∵A=[-1,3],B=[m-2,m+2]

由A∩B=[0,3]得:2-m=0,

∴m=2

(II)由B=[m-2,m+2],得CRB=(-∞,m-2)∪(m+2,+∞),

又A⊆CRB

∴m-2>3或m+2<-1,即m>5或m<-3.

故实数m的取值范围是m>5或m<-3.

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题型:简答题
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简答题

记函数f(x)=log2(2x-3)的定义域为集合A,函数g(x)=的定义域为集合B,集合C={x|-2a<x<a+1}.

(Ⅰ)求集合A∪B,A∩∁RB;

(Ⅱ)若(A∪B)∩C=∅,求实数a的取值范围.

正确答案

(I)A=(,+∞),(1分),

B=(-∞,1]∪[3,+∞),(2分)

∴A∪B=(-∞,1]∪(,+∞),(4分)

A∩∁RB=(,3)(6分)  评分的时候注意区间的开闭

(II)当C=∅时,应有-2a≥a+1,∴a≤-,(8分)

当C≠∅时,应有,得a∈∅,(10分)

所以a的取值范围为a≤-(12分).

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题型:填空题
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填空题

已知全集U=R,集合A={x|-1≤x≤3},集合B={x|log2(x-2)<1},则A∩∁UB=______.

正确答案

由题意可知:∵log2(x-2)<1,∴x-2>0且x-2<2,

∴2<x<4,∴B={x|2<x<4},∴CuB={x|x≤2或x≥4}

又∵A={x|-1≤x≤3},∴A∩CUB=[-1,2].

故答案为:[-1,2].

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题型:填空题
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填空题

设集合M={x|-1≤x<2},N={x|x≤a},若M∩N≠∅,则a的取值范围是 ______

正确答案

因为M∩N≠∅,所以M与N必有公共元素,所以a≥-1

故答案为:{a|a≥-1}

下一知识点 : 函数及其表示
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