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已知集合A={x|x2-4ax+2a+6=0,x∈R},集合B={x|x<0},若A∩B≠∅,求实数a的取值范围.
正确答案
(法1):因为A∩B≠∅,所以方程x2-4ax+2a+6=0有负根;…(1分)
设方程的根为x1,x2
(1)恰有一个负根:或
…(3分)
解得:或
…(5分)
即a≤-3…(6分)
(2)恰有2个负根…(7分)
解得:…(8分)
即-3<a≤-1…(9分)
所以a的取值范围是{a|a≤-1}…(10分)
(法2):因为x2-4ax+2a+6=0有负根,所以a=(x<0)有解,
设y=(x<0),
令t=4x-2<-2,换元得y==
(t+
+4)≤-1
所以a≤-1
已知集合A={x|x2-4x-5≤0},B={x|x2-2x-m<0}.
(1)当m=3时,求A∩∁RB;
(2)若A∩B={x|-1≤x<4},求实数m的值.
正确答案
(1)A={x|x2-4x-5≤0}={x|-1≤x≤5},
当m=3时,B={x|-1<x<3},
则∁RB={x|x≤-1或x≥3},
∴A∩∁RB={x|x=-1或3≤x≤5}.
(2)∵A∩B={x|-1≤x<4},
∴x=4是方程x2-2x-m=0的一个根,
∴有42-2×4-m=0,解得m=8,
此时B={x|-2<x<4}符合题意.
关于x的不等式<1的解集为P,不等式|x-1|≤1的解集为Q,若P⊆Q,求实数a的取值范围.
正确答案
∵Q={|x-1|≤1}={x|0≤x≤2},P⊆Q,…(3分)
对于<1,当a=2时,P=φ,符合题意.…(6分)
当a>2时,P={x|1<x<a-1},此时只需a-1≤2,即2<a≤3.…(8分)
当a<2时,P={x|a-1<x<1},此时只需a-1≥0,即1≤a<2.…(10分)
综上1≤a≤3为所求.…(12分)
已知集合A={x丨-3≤x<0},集合B={x丨2-x>x2}
(1)求A∩B;
(2)若集合C={x丨2a≤x≤a+2},且(A∩B)⊆C,求实数a的取值范围.
正确答案
解(1)由已知得A=[-3,0),
由2-x>x2 解得B=(-2,1),所以A∩B=(-2,0);
(2)由(1)知,A∩B=(-2,0)
又由集合C={x丨2a≤x≤a+2},且(A∩B)⊆C,
得,解得-2≤a≤-1
则此时实数a的取值范围为(-2,-1).
若{an}是等差数列,公差为d且不为d≠0,a1,d∈R,它的前n项和记为Sn,设集合P={(x,y)|-y2=1,x,y∈R},Q={(x,y)|x=an,y=
,n∈N*}给出下列命题:(1)集合Q表示的图形是一条直线;(2)P∩Q=∅(3)P∩Q只有一个元素(4)P∩Q可以有两个元素(5)P∩Q至多有一个元素.其中正确的命题序号是 ______(注:把你认为是正确命题的序号都填上)
正确答案
设y=,x=an由等差数列求和公式得Sn=na1+
[n(n-1)d]
则y=a1+[(n-1)d]
又x=a1+(n-1)d
易得2y=x+a1集合Q表示的图形是一条直线上不连续的点,①不正确.
把方程2y=x+a1与双曲线方程联立得2xa1-a12-4=0
∴直线2y=x+a1与双曲线最多有一个焦点,即P∩Q至多有一个元素.②③④均不正确,⑤正确.
故答案为:⑤
设集合是A={a|f(x)=8x3-3ax+6x(0,+∞)上的增函数},B={y|y=,x∈[-1,3]},则∁R(A∩B)=______.
正确答案
因为f(x)=8x3-3ax+6x(0,+∞)上的增函数,所以f′(x)=24x2-3a+6,在(0,+∞)上的增函数
所以导函数恒为正,f′(0)=-3a+6≥0,所以a≤2,所以A={a|a≤2}.即A=(-∞,2]
y=,x∈[-1,3],所以y∈[1,5].
B=[1,5].
所以A∩B=[1,2].
∁R(A∩B)=(-∞,1)∪(2,+∞).
故答案为:(-∞,1)∪(2,+∞).
已知集合A={x|x2-2x-3≤0,x∈R},B={x||x-m|≤2,x∈R}
(Ⅰ)若A∩B=[0,3],求实数m的值
(Ⅱ)若A⊆CRB,求实数m的取值范围.
正确答案
(I)∵A=[-1,3],B=[m-2,m+2]
由A∩B=[0,3]得:2-m=0,
∴m=2
(II)由B=[m-2,m+2],得CRB=(-∞,m-2)∪(m+2,+∞),
又A⊆CRB
∴m-2>3或m+2<-1,即m>5或m<-3.
故实数m的取值范围是m>5或m<-3.
记函数f(x)=log2(2x-3)的定义域为集合A,函数g(x)=的定义域为集合B,集合C={x|-2a<x<a+1}.
(Ⅰ)求集合A∪B,A∩∁RB;
(Ⅱ)若(A∪B)∩C=∅,求实数a的取值范围.
正确答案
(I)A=(,+∞),(1分),
B=(-∞,1]∪[3,+∞),(2分)
∴A∪B=(-∞,1]∪(,+∞),(4分)
A∩∁RB=(,3)(6分) 评分的时候注意区间的开闭
(II)当C=∅时,应有-2a≥a+1,∴a≤-,(8分)
当C≠∅时,应有,得a∈∅,(10分)
所以a的取值范围为a≤-(12分).
已知全集U=R,集合A={x|-1≤x≤3},集合B={x|log2(x-2)<1},则A∩∁UB=______.
正确答案
由题意可知:∵log2(x-2)<1,∴x-2>0且x-2<2,
∴2<x<4,∴B={x|2<x<4},∴CuB={x|x≤2或x≥4}
又∵A={x|-1≤x≤3},∴A∩CUB=[-1,2].
故答案为:[-1,2].
设集合M={x|-1≤x<2},N={x|x≤a},若M∩N≠∅,则a的取值范围是 ______
正确答案
因为M∩N≠∅,所以M与N必有公共元素,所以a≥-1
故答案为:{a|a≥-1}
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