导数的乘法与除法法则
共266题

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导数的乘法与除法法则
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题型：简答题

简答题 · 12 分

已知函数，

（1）若方程有三个根分别为,且,,求函数的单调区间;

（2）在（1）中，若函数在区间上单调递增,且函数与直线的图像有且仅有两个公共点,求函数的解析式与极值。

正确答案

见解析。

解析

（1）因为,

又,,则,,,

所以是方程的两根,则,,

所以。

令,解得。

当时,令,得;令,得,

故的单调递减区间是,单调递增区间是.

当时,令,得;令,得,

故的单调递减区间是,单调递增区间是;

当时,令为常函数,无单调区间。

（2）由（1）得。

因为函数在区间上单调递增,

所以由（1）知,且在区间上单调递减,在区间上单调递增。

又函数与直线的图像有且仅有两个公共点,则函数的极大值或极小值为1。

当时,解得。

此时,;

当时,解得，此时上单调递减，矛盾，舍去此时a的取值。

知识点

导数的乘法与除法法则

题型：简答题

简答题 · 14 分

已知函数在上是增函数，上是减函数。

（1）求函数的解析式；

（2）若时，恒成立，求实数m的取值范围；

（3）是否存在实数b，使得方程在区间上恰有两个相异实数根，若存在，求出b的范围，若不存在说明理由。

正确答案

见解析。

解析

（1）

依题意得，所以，从而……2分

（2）

令，得或（舍去），所以 ……………6分

（3）设，

即，。 …………7分

又，令，得；令，得。

所以函数的增区间，减区间。

要使方程有两个相异实根，则有

，解得

知识点

导数的乘法与除法法则

题型：单选题

单选题 · 3 分

若在的展开式中，第4项是常数项，则二项式系数最大的项是第（　　）项

A10

正确答案

解析

略

知识点

导数的乘法与除法法则

题型：填空题

填空题 · 5 分

设正实数.则当取得最小值时，的最大值为___________.

正确答案

解析

略

知识点

导数的乘法与除法法则

题型：简答题

简答题 · 14 分

已知函数(e为自然对数的底数)。

（1）设曲线在x=1处的切线为l，点(1，0)到直线l的距离为，求a的值；

（2）若对于任意实数x≥0，f(x)>0恒成立，试确定实数a的取值范围；

（3）当a=-1时，函数在[1,e]上是否存在极值？若存在，求出极值；若不存在，请说明理由。

正确答案

见解析

解析

（1）,.

在处的切线斜率为， ………………………1分

∴切线的方程为，即.…………………3分

又切线与点距离为,所以，

解之得，或 …………………5分

（2）∵对于任意实数恒成立，

∴若，则为任意实数时，恒成立； ……………………6分

若恒成立，即，在上恒成立，…………7分

设则, ……………………8分

当时，，则在上单调递增；

当时，，则在上单调递减；

所以当时，取得最大值，， ………………9分

所以的取值范围为.

综上，对于任意实数恒成立的实数的取值范围为. …10分

（3）依题意,，

所以, ………………11分

设,则,当,

故在上单调增函数,因此在上的最小值为，

即， ………………12分

又所以在上，，

即在上不存在极值。 ………………14分

知识点

导数的乘法与除法法则

继续学习棒棒哒，已是最后一个知识点

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