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题型:简答题
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简答题 · 12 分

现有4个人去参加某娱乐活动,该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择,为增加趣味性,约定:每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏,掷出点数为1或2的人去参加甲游戏,掷出点数大于2的人去参加乙游戏。

(1)求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率;

(2)求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率;

(3)用X,Y分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数,记ξ=|X-Y|,求随机变量ξ的分布列与数学期望Eξ.

正确答案

见解析

解析

解析:依题意,这4个人中,每个人去参加甲游戏的概率为,去参加乙游戏的概率为.设“这4个人中恰有i人去参加甲游戏”为事件(i=0,1,2,3,4),则

(1)这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率    3分

(2)设“这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数”为事件B,则

由于互斥,故

所以,这4个人去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率为.     7分

(3)ξ的所有可能取值为0,2,4. 由于互斥,互斥,故

,       

所以ξ的分布列是

随机变量ξ的数学期望         12分

知识点

随机事件的关系
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题型: 单选题
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单选题 · 5 分

在游乐场,有一种游戏是向一个画满均匀方格的桌面上投硬币,若硬币恰落在任何一个方格内不与方格线重叠,即可获奖,已知硬币的直径为,若游客获奖的概率不超过,则方格边长最长为(单位:)

A3

B4

C5

D6

正确答案

A

解析

设方格边长为,则

知识点

随机事件的关系
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题型:简答题
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简答题 · 12 分

如图,长为m+1(m>0)的线段AB的两个端点A和B分别在轴和轴上滑动,点M是线段AB上的一点,且=m.

(1)求点M的轨迹Γ的方程,并判断轨迹Γ为何种圆锥曲线;

(2)设过点Q( ,0)且斜率不为0的直线交轨迹Γ于C,D两点.设点P在轴上,且恒满足

,试求点P的坐标。

正确答案

见解析

解析

(1)设A、B、M的坐标分别为(x0,0)、(0,y0)、(x,y),则x+y=(m+1)2,  ①1分

由=m,得(x-x0,y)=m(-x,y0-y),

∴ ②   ………………2分

将②代入①,得(m+1)2x2+()2y2=(m+1)2

化简即得点M的轨迹Γ的方程为x2+=1(m>0),…………4分

当0<m<1时,轨迹Γ是焦点在x轴上的椭圆;

当m=1时,轨迹Γ是以原点为圆心,半径为1的圆;

当m>1时,轨迹Γ是焦点在y轴上的椭圆。       ……………6分

(2)依题意,设直线CD的方程为x=ty+,

消去x并化简整理,

△=m4t2+3m2(m2t2+1)>0,设C(x1,y1),D(x2,y2),则

y1+y2=-,y1y2=-。         ③    ……………………9分

设定点P(a,0),若,则

即直线PC、PD的倾斜角互补,

∴kPC+kPD=0,                       …………………………10分

即+=0,∵x1=ty1+,x2=ty2+,

化简,得4ty1y2+(1-2a)( y1+y2)=0,           ④   ……………………11分

将③代入④,得+=0,即2m2t(2-a)=0,

∵m>0,∴t(2-a)=0,∵上式对∀t∈R都成立,∴a=2。

故定点P的坐标为(2,0)。       ……………………12分

知识点

随机事件的关系
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题型:简答题
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简答题 · 12 分

为了解心肺疾病是否与年龄相关,现随机抽取了40名市民,得到数据如下表:

已知在全部的40人中随机抽取1人,抽到不患心肺疾病的概率为

(1)请将列联表补充完整;

(2)已知大于40岁患心肺疾病市民中,经检查其中有4名重症患者,专家建议重症患者住院治疗,现从这16名患者中选出两名,记需住院治疗的人数为,求的分布列和数学期望;

(3)能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为患心肺疾病与年龄有关?

下面的临界值表供参考:

(参考公式:,其中

正确答案

见解析

解析

解析:(1)

…………4分

(2)可以取0,1,2                                              …………5分

                                    …………8分

                               …………10分

(3)                     …………11分

所以在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为患心肺疾病与年龄有关。  …………12分

知识点

随机事件的关系
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题型:简答题
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简答题 · 12 分

从天气网查询到邯郸历史天气统计 (2011-01-01到2014-03-01)资料如下:

自2011-01-01到2014-03-01,邯郸共出现:多云507天,晴356天,雨194天,雪36天,阴33天,其它2天,合计天数为:1128天。

本市朱先生在雨雪天的情况下,分别以的概率乘公交或打出租的方式上班(每天一次,且交通方式仅选一种),每天交通费用相应为2元或40元;在非雨雪天的情况下,他以90%的概率骑自行车上班,每天交通费用0元;另外以10%的概率打出租上班,每天交通费用20元。(以频率代替概率,保留两位小数。 参考数据: )

(1)求他某天打出租上班的概率;

(2)将他每天上班所需的费用记为(单位:元),求的分布列及数学期望。

正确答案

见解析

解析

解析:(1)设表示事件“雨雪天”, 表示事件“非雨雪天”, 表示事件“打出租上班”,

 …………………………2分

 ……4分

(2)的可能取值为0,2,20,40                ………………6分

             …………10分

的分布列为

(元)…………12分

知识点

随机事件的关系
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