椭圆的定义
共1868题

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题型：简答题

简答题

设F1、F2分别为椭圆C： =1（a＞b＞0）的左、右两个焦点.

（1）若椭圆C上的点A（1，）到F1、F2两点的距离之和等于4，写出椭圆C的方程和焦点坐标；

（2）设点P是（1）中所得椭圆上的动点，当P在何位置时，最大，说明理由，并求出最大值。

正确答案

（1）椭圆C的方程为=1，焦点F1（－1，0），F2（1，0 ）；

（2）即时的最大值为

（1）椭圆C的焦点在x轴上，由椭圆上的点A到F1、F2两点的距离之和是4，

得2a=4，即a="2."

又点A（1，）在椭圆上，因此=1得b2=3，于是c2=1.

所以椭圆C的方程为=1，

焦点F1（－1，0），F2（1，0）

（2）设，

则==

当且仅当即时，取得最小值

因为在递减，所以的最大值为

题型：填空题

填空题

以椭圆C的短轴为直径的圆经过该椭圆的焦点，则椭圆C的离心率为．

正确答案

由题意知。

题型：填空题

填空题

在平面直角坐标系中，有椭圆＝1(a>b>0)的焦距为2c，以O为圆心，a为半径的圆．过点作圆的两切线互相垂直，则离心率e＝________．

正确答案

如题图，PA、PB与圆O相切，由于切线PA、PB互相垂直，所以四边形OAPB为正方形，OP＝OA，这样就得到一个关于基本量a、c的齐次方程，从而求解出比值(e)的值．由已知条件，四边形OAPB为正方形，所以OP＝OA，所以＝a，解得＝，即e＝

题型：填空题

填空题

(本题满分12分)

已知椭圆：(),其左、右焦点分别为、，且、、成等比数列．

(Ⅰ)若椭圆的上顶点、右顶点分别为、，求证：;

(Ⅱ)若为椭圆上的任意一点，是否存在过点、的直线，使与轴的交点满足？若存在，求直线的斜率；若不存在，请说明理由．

正确答案

解：(Ⅰ)由题设，，又，得，，

于是，故． …………4分

(Ⅱ)由题设，显然直线垂直于轴时不合题意， …………5分

设直线的方程为，得:Z，

又，及，得点的坐标为， …………7分

因为点在椭圆上，∴，又，得，

…………9分

由题设及，得．

，与矛盾, …………11分

故不存在满足题意的直线． …………12分

略

题型：简答题

简答题

已知在平面直角坐标系中，向量，且

.（1）设的取值范围；

（2）设以原点O为中心，对称轴在坐标轴上，以F为右焦点的椭圆经过点M，且取最小值时，求椭圆的方程.

正确答案

（1）（）（2）

（1）由，

得…………………………………………………………………3分

∴夹角的取值范围是（）

………………………………………………………………6分

（2）

…………………………………………………………………………………………8分

………………10分

∴当且仅当

…………………………………………12分

椭圆长轴

故所求椭圆方程为.……………………………………………………14分

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