椭圆的定义
共1868题

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椭圆的定义
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题型：简答题

简答题

(本小题满分12分)

如图，在直角坐标系中，已知椭圆：的离心率，左、右两个焦点分别为、。过右焦点且与轴垂直的直线与椭圆相交、两点，且．

(1)求椭圆的方程；

(2)设椭圆的左顶点为，下顶点为，动点满足，试求点的轨迹方程，使点关于该轨迹的对称点落在椭圆上．

正确答案

，P的轨迹方程为或

（1）∵轴，∴，由椭圆的定义得：

∵，∴……………………2分

又得，∴，∵，∴，，

∴，

∴所求椭圆的方程为……………………5分

（2）由（1）知点，点为，设点的坐标为，

则，，

由得，

∴点的轨迹方程为……………………7分

设点B关于P的轨迹的对称点为，则由轴对称的性质可得，，解得，……………………9分

∵点在椭圆上，∴，整理得

，解得或。

∴点P的轨迹方程为或，……………………11分

经检验和都符合题设，

∴满足条件的点P的轨迹方程为或……………………12分

题型：简答题

简答题

已知为坐标原点，为椭圆：在轴正半轴上的焦点，过且斜率为的直线与交与、两点，点满足.

(1)证明：点在上；

(2)设点关于点的对称点为，证明：、、、四点在同一圆上.

正确答案

（1）见解析（2）见解析

(1),的方程为,代入并化简得

. 2分

设,

则

由题意得

所以点的坐标为.

经验证点的坐标满足方程,故点在椭圆上 …6分

(2)由和题设知，，的垂直平分线的方程为

. ①

设的中点为,则,的垂直平分线的方程为

. ②

由①、②得、的交点为. 9分

故 ,

又 , ,

所以 ,

由此知、、、四点在以为圆心,为半径的圆上. 2分

（2）法二：

同理

所以互补，

因此A、P、B、Q四点在同一圆上。

题型：简答题

简答题

（本题满分12分）如图，过椭圆的左焦点作x轴的垂线交椭圆于点P，点A和点B分别为椭圆的右顶点和上顶点，OP∥AB．

（1）求椭圆的离心率e（2）过右焦点作一条弦QR，使QR⊥AB．若△的面积为，求椭圆的方程．

正确答案

(Ⅰ) (Ⅱ)

（1）∵，∴．

∵OP∥AB，∴，∴，

解得：b=c．∴，故（4分）

（2）由（1）知椭圆方程可化简为．①

易求直线QR的斜率为，故可设直线QR的方程为：．②

由①②消去y得：．∴，．（8分）

于是△的面积S=

=，∴．

因此椭圆的方程为，即．（12分）

题型：简答题

简答题

设椭圆过点，且焦点为。

（1）求椭圆的方程；

（2）当过点的动直线与椭圆相交与两不同点A、B时，在线段上取点，

满足，证明：点总在某定直线上。

正确答案

（1）所求椭圆方程为

（2）证明见解析

（1）由题意：，解得，

所求椭圆方程为

（2）解：设过P的直线方程为：，

设，，

则

，

∵，∴，即，

化简得：，

∴，

去分母展开得：

化简得：，解得：

又∵Q在直线上，

∴，∴

即，

∴Q恒在直线上。

题型：简答题

简答题

已知椭圆过点和点．

（1）求椭圆的方程；

（2）设过点的直线与椭圆交于两点，且，求直线的方程．

正确答案

（1）；（2）

试题分析：（1）将两点代入椭圆方程可解得的值，从而可得椭圆的方程。（2）分析可知直线的斜率存在，且。设直线的方程为，与椭圆方程联立消去得关于的一元二次方程，因为有两个交点故判别式应大于0.且可得根与系数的关系，从而可得的中点坐标，因为所以点和中点的连线垂直直线，即两直线斜率之积等于。从而可求得的值。

解：（1）因为椭圆过点和点．

所以，由，得．

所以椭圆的方程为．

（2）显然直线的斜率存在，且．设直线的方程为．

由消去并整理得，

由，．

设，，中点为，

得，．

由，知，

所以，即．

化简得，满足．

所以．

因此直线的方程为．

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