热门试卷

（1）+y2=1  （2）y=x+或y=-x-

解:(1)因为椭圆C1的左焦点为F1(-1,0),

所以c=1.

将点P(0,1)代入椭圆方程+=1,

得=1,即b=1.

所以a2=b2+c2=2.

所以椭圆C1的方程为+y2=1.

(2)由题意可知,直线l的斜率显然存在且不等于0,

设直线l的方程为y=kx+m,

由

消去y并整理得(1+2k2)x2+4kmx+2m2-2=0.

因为直线l与椭圆C1相切,

所以Δ1=16k2m2-4(1+2k2)(2m2-2)=0.

整理得2k2-m2+1=0.①

由消去y并整理得k2x2+(2km-4)x+m2=0.

因为直线l与抛物线C2相切,

所以Δ2=(2km-4)2-4k2m2=0,

整理得km=1.②

综合①②,解得或

所以直线l的方程为y=x+或y=-x-.

（1）；（2）存在;（3）证明过程详见试题解析.

试题分析：（1）由双曲线的焦点与椭圆的焦点重合求出椭圆中的，再由，求出所求椭圆方程为；（2）先设，由,结合椭圆的标准方程可以得到使得为定值；（3）要证明以为直径的圆经过点，就是证明,详见解析.

试题解析：（1）解：由题设可知：双曲线的焦点为，

所以椭圆中的

又由椭圆的长轴为4得

故 

故椭圆的标准方程为： 

（2）证明：设，由可得：

由直线与的斜率之积为可得：

 ，即 

由①②可得：…6分

M、N是椭圆上，故

故，即 

由椭圆定义可知存在两个定点，使得动点P到两定点距离和为定值;

（3）证明：设

由题设可知 

由题设可知斜率存在且满足.……③

将③代入④可得：…⑤  

点在椭圆，故 

所以 

因此以为直径的圆经过点.

直线,

化简得

令，解得，即直线过轴上定点。

略

(1)  (2)不存在

试题分析:(1)利用正方形面积为2,即可得到对角线的长为2,则可得的两个顶点和的两个焦点的坐标,求的的值,再结合点在双曲线上,代入双曲线结合之间的关系即可求的的值,得到双曲线的方程,椭圆的焦点坐标已知,点在椭圆上,利用椭圆的定义即为到两焦点的距离之和,求出距离即可得到的值,利用之间的关系即可求出的值,得到椭圆的标准方程.

(2)分以下两种情况讨论,当直线的斜率不存在时,直线与只有一个公共点,即直线经过的顶点,得到直线的方程,代入双曲线求的点的坐标验证是否符合等式,当直线的斜率存在时,直线的方程为,联立直线与双曲线消元得到二次方程,再利用根与系数之间的关系得到关于两点横纵坐标之和的表达式,利用出,再立直线与椭圆的方程即可得到直线的关系,可得到内积不可能等于0,进而得到,即,即不存在这样的直线.

的焦距为,由题可得,从而,因为点在双曲线上,所以,由椭圆的定义可得

,于是根据椭圆之间的关系可得,所以的方程为.

(2)不存在符合题设条件的直线.

①若直线垂直于轴,即直线的斜率不存在,因为与只有一个公共点,所以直线的方程为或,

当时,易知所以,此时.

当时,同理可得.

②当直线不垂直于轴时,即直线的斜率存在且设直线的方程为,联立直线与双曲线方程可得,当与相交于两点时,设,则满足方程,由根与系数的关系可得,于是,联立直线与椭圆可得

,因为直线与椭圆只有一个交点,

所以,化简可得,因此

,

于是,即,所以,

综上不存在符合题目条件的直线.