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题型:简答题
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简答题

的切线与x轴正半轴,y轴正半轴围成一个三角形,当该三角形面积最小时,切点为P(如图).

(1)求点P的坐标;

(2)焦点在x轴上的椭圆C过点P,且与直线交于A,B两点,若的面积为2,求C的标准方程.

正确答案

(1);(2)

试题分析:(1)首先设切点,由圆的切线的性质,根据半径的斜率可求切线斜率,进而可表示切线方程为,建立目标函数.故要求面积最小值,只需确定的最大值,由结合目标函数,易求;(2)设椭圆标准方程为,点在椭圆上,代入点得①,利用弦长公式表示,利用点到直线距离公式求高,进而表示的面积,与①联立,可确定,进而确定椭圆的标准方程.

(1)设切点坐标为.则切线斜率为.切线方程为.即.此时,两个坐标轴的正半轴于切线围成的三角形面积.由知当且仅当时,有最大值.即有最小值.因此点的坐标为

(2)设的标准方程为.点.由点上知.并由.又是方程的根,因此,由,得.由点到直线的距离为.解得.因此(舍)或

.从而所求的方程为

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简答题

已知椭圆=1(a>b>0)的离心率为,短轴的一个端点为M(0,1),直线l:y=kx-与椭圆相交于不同的两点A、B.

(1)若AB=,求k的值;

(2)求证:不论k取何值,以AB为直径的圆恒过点M.

正确答案

(1)k=±1.(2)见解析

(1)解:由题意知,b=1.由a2=b2+c2可得c=b=1,a=

∴椭圆的方程为+y2=1.由得(2k2+1)x2kx-=0.

Δ=k2-4(2k2+1)×=16k2>0恒成立,

设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2,x1x2=-.

∴AB=·|x1-x2|=,化简得23k4-13k2-10=0,即(k2-1)(23k2+10)=0,解得k=±1.

(2)证明:∵=(x1,y1-1),=(x2,y2-1),

=x1x2+(y1-1)(y2-1)=(1+k2)x1x2k(x1+x2)+=-=0.∴不论k取何值,以AB为直径的圆恒过点M.

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简答题

如图,已知点为椭圆右焦点,圆与椭圆的一个公共点为,且直线与圆相切于点.

(1)求的值及椭圆的标准方程;

(2)设动点满足,其中M、N是椭圆上的点,为原点,直线OM与ON的斜率之积为,求证:为定值.

正确答案

(1);(2)证明过程详见解析.

试题分析:本题主要考查椭圆的标准方程以及几何性质等基础知识,考查学生分析问题解决问题的能力和计算能力.第一问,由椭圆C过点(0,1)点,所以得到,由,得,在直角三角形AFB中,利用勾股定理求参数a,c的值,从而得到椭圆的标准方程;第二问,设出点M,N,P的坐标,代入到中,得到的关系,得到的关系,又由于点M,N在椭圆上,代入椭圆方程中,得到关系式,都代入到所求的式子中,化简得到定值.

试题解析:(1)由题意可知,又.又 .   2分

中,

故椭圆的标准方程为:            6分

(2)设

∵M、N在椭圆上,∴

又直线OM与ON的斜率之积为,∴

于是

.故为定值.    13分

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简答题

已知椭圆的离心率为,其长轴长与短轴长的和等于6.

(1)求椭圆的方程;

(2)如图,设椭圆的上、下顶点分别为是椭圆上异于的任意一点,直线分别交轴于点,若直线与过点的圆相切,切点为.证明:线段的长为定值.

正确答案

(1);(2)定值为2,证明见解析.

试题分析:(1)根据椭圆的离心率、长轴与短轴的关系建立的方程可求得椭圆的方程;;(2)设,然后用此点坐标分别表示出的方程,然后根据直线与圆相切性质、平面几何知识化的关系,进而确定其为定值.

试题解析:(1)由题意可得,得  ①.

,即   ②,

解①②,得

∴椭圆的方程为

(2)由(1)知,设,则

直线的方程为,令,得

直线的方程为,令,得

,则

,即

,∴,即线段的长为定值2.

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简答题

给定椭圆.称圆心在原点O,半径为的圆是椭圆C的“准圆”.若椭圆C的一个焦点为,其短轴上的一个端点到F的距离为

(1)求椭圆C的方程和其“准圆”方程;

(2)点P是椭圆C的“准圆”上的一个动点,过动点P作直线,使得与椭圆C都只有一个交点,试判断是否垂直?并说明理由.

正确答案

(1) ; (2) 垂直.

试题分析:(1)由“椭圆C的一个焦点为,其短轴上的一个端点到F的距离为”知:从而可得椭圆的标准方程和“准圆”的方程;

(2)分两种情况讨论:①当中有一条直线斜率不存在;②直线斜率都存在.

对于①可直接求出直线的方程并判断其是不互相垂直;

对于②设经过准圆上点与椭圆只有一个公共点的直线为

与椭圆方程联立组成方程组消去得到关于的方程:

化简整理得:

而直线的斜率正是方程的两个根,从而

试题解析:(1)

椭圆方程为

准圆方程为

(2)①当中有一条无斜率时,不妨设无斜率,

因为与椭圆只有一个共公点,则其方程为

方程为时,此时与准圆交于点

此时经过点(或)且与椭圆只有一个公共眯的直线是(或

(或),显然直线垂直;

同理可证方程为时,直线也垂直.

②当都有斜率时,设点其中

设经过点与椭圆只有一个公共点的直线为

则由消去,得

化简整理得:

因为,所以有

的斜率分别为,因为与椭圆只有一个公共点

所以满足上述方程

所以,即垂直,

综合①②知, 垂直.

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