- 椭圆的定义
- 共1868题
圆的切线与x轴正半轴,y轴正半轴围成一个三角形,当该三角形面积最小时,切点为P(如图).
(1)求点P的坐标;
(2)焦点在x轴上的椭圆C过点P,且与直线交于A,B两点,若
的面积为2,求C的标准方程.
正确答案
(1);(2)
试题分析:(1)首先设切点,由圆的切线的性质,根据半径
的斜率可求切线斜率,进而可表示切线方程为
,建立目标函数
.故要求面积最小值,只需确定
的最大值,由
结合目标函数,易求;(2)设椭圆标准方程为
,点
在椭圆上,代入点得
①,利用弦长公式表示
,利用点到直线距离公式求高,进而表示
的面积,与①联立,可确定
,进而确定椭圆的标准方程.
(1)设切点坐标为.则切线斜率为
.切线方程为
.即
.此时,两个坐标轴的正半轴于切线围成的三角形面积
.由
知当且仅当
时,
有最大值.即
有最小值.因此点
的坐标为
.
(2)设的标准方程为
.点
.由点
在
上知
.并由
得
.又
是方程的根,因此
,由
,
,得
.由点
到直线
的距离为
及
得
.解得
或
.因此
,
(舍)或
,
.从而所求
的方程为
.
已知椭圆=1(a>b>0)的离心率为
,短轴的一个端点为M(0,1),直线l:y=kx-
与椭圆相交于不同的两点A、B.
(1)若AB=,求k的值;
(2)求证:不论k取何值,以AB为直径的圆恒过点M.
正确答案
(1)k=±1.(2)见解析
(1)解:由题意知=
,b=1.由a2=b2+c2可得c=b=1,a=
,
∴椭圆的方程为+y2=1.由
得(2k2+1)x2-
kx-
=0.
Δ=k2-4(2k2+1)×
=16k2+
>0恒成立,
设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=,x1x2=-
.
∴AB=·|x1-x2|=
,化简得23k4-13k2-10=0,即(k2-1)(23k2+10)=0,解得k=±1.
(2)证明:∵=(x1,y1-1),
=(x2,y2-1),
∴=x1x2+(y1-1)(y2-1)=(1+k2)x1x2-
k(x1+x2)+
=-
-
+
=0.∴不论k取何值,以AB为直径的圆恒过点M.
如图,已知点为椭圆
右焦点,圆
与椭圆
的一个公共点为
,且直线
与圆
相切于点
.
(1)求的值及椭圆
的标准方程;
(2)设动点满足
,其中M、N是椭圆
上的点,
为原点,直线OM与ON的斜率之积为
,求证:
为定值.
正确答案
(1);(2)证明过程详见解析.
试题分析:本题主要考查椭圆的标准方程以及几何性质等基础知识,考查学生分析问题解决问题的能力和计算能力.第一问,由椭圆C过点(0,1)点,所以得到,由
,得
,在直角三角形AFB中,利用勾股定理求参数a,c的值,从而得到椭圆的标准方程;第二问,设出点M,N,P的坐标,代入到
中,得到
与
、
的关系,得到
与
、
的关系,又由于点M,N在椭圆上,代入椭圆方程中,得到关系式,都代入到所求的式子中,化简得到定值.
试题解析:(1)由题意可知,又
.又
. 2分
在中,
,
故椭圆的标准方程为: 6分
(2)设
∵M、N在椭圆上,∴
又直线OM与ON的斜率之积为,∴
,
于是
.故
为定值. 13分
已知椭圆:
的离心率为
,其长轴长与短轴长的和等于6.
(1)求椭圆的方程;
(2)如图,设椭圆的上、下顶点分别为
,
是椭圆上异于
的任意一点,直线
分别交
轴于点
,若直线
与过点
的圆
相切,切点为
.证明:线段
的长为定值.
正确答案
(1);(2)定值为2,证明见解析.
试题分析:(1)根据椭圆的离心率、长轴与短轴的关系建立的方程可求得椭圆
的方程;;(2)设
,然后用此点坐标分别表示出
、
的方程,然后根据直线与圆相切性质、平面几何知识化
为
的关系,进而确定其为定值.
试题解析:(1)由题意可得,得
①.
又,即
②,
解①②,得,
∴椭圆的方程为
.
(2)由(1)知,设
,则
直线的方程为
,令
,得
.
直线的方程为
,令
,得
.
设,则
=
,
,
∴=
.
∵,即
,
∴=
,∴
,即线段
的长为定值2.
给定椭圆.称圆心在原点O,半径为
的圆是椭圆C的“准圆”.若椭圆C的一个焦点为
,其短轴上的一个端点到F的距离为
.
(1)求椭圆C的方程和其“准圆”方程;
(2)点P是椭圆C的“准圆”上的一个动点,过动点P作直线,使得
与椭圆C都只有一个交点,试判断
是否垂直?并说明理由.
正确答案
(1) ; (2)
垂直.
试题分析:(1)由“椭圆C的一个焦点为,其短轴上的一个端点到F的距离为
”知:
从而可得椭圆的标准方程和“准圆”的方程;
(2)分两种情况讨论:①当中有一条直线斜率不存在;②直线
斜率都存在.
对于①可直接求出直线的方程并判断其是不互相垂直;
对于②设经过准圆上点与椭圆只有一个公共点的直线为
与椭圆方程联立组成方程组消去
得到关于
的方程:
由化简整理得:
而直线的斜率正是方程的两个根
,从而
试题解析:(1)
椭圆方程为
准圆方程为
(2)①当中有一条无斜率时,不妨设
无斜率,
因为与椭圆只有一个共公点,则其方程为
当方程为
时,此时
与准圆交于点
此时经过点(或
)且与椭圆只有一个公共眯的直线是
(或
)
即为
(或
),显然直线
垂直;
同理可证方程为
时,直线
也垂直.
②当都有斜率时,设点
其中
设经过点与椭圆只有一个公共点的直线为
则由消去
,得
由化简整理得:
因为,所以有
设的斜率分别为
,因为
与椭圆只有一个公共点
所以满足上述方程
所以,即
垂直,
综合①②知, 垂直.
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