热门试卷

解：（1）根据牛顿第二定律得，mgtanθ=m

由题意得tanθ=sinθ==

联立得：v===20m/s；

（2）若火车通过这个弯道的速度为90km/h=25m/s，大于20m/s，火车做离心运动，因此轮缘挤压是外轨道，

根据牛顿第二定律，则有：N+mgtanθ=m；

解得：N=0.075mg；

因此轮缘与轨道压力大小为车厢重力的0.075倍．

答：（1）火车通过弯道的速度应为20m/s．

（2）轮缘与轨道压力大小为车厢重力的0.075倍．

解：如图对小球进行受力分析，受重力和绳子的拉力，

根据力的合成可知：F合=mgtanθ

由图可知，小球圆周运动的半径为：r=Lsinθ

小球所受合力提供小球圆周运动的向心力有：

可得小球圆周运动的周期为：T==

小球的运动的角速度为：=

小球运动的线速度为：=

答：小球做圆周运动的周期为，角速度为，线速度为．

解：（1）根据牛顿第三定律，小球到达轨道的最高点时受到轨道的支持力N等于小球对轨道的压力N′，则：N=mg，

由题意可知小球在最高点时，有：N+mg=m，

解得小球到达轨道最高点时的速度大小为：v= 

（2）小球离开轨道平面做平抛运动：h=2R=gt2，

即平抛运动时间：t=，

所以小球落地时与A点的距离：x=vt=•=2R

（3）落地时竖直方向分速度vy，有：v=2g•2R=4gR

落地时水平方向分速度vx，有：vx=v=

所以小球落地时速度大小为：v==

答：（1）小球到达轨道最高点时的速度为．

（2）小球落地时距离最高点的水平距离为2R．

（3）落地时速度为．

解：（1）珠子运动的轨迹

建立如图所示的坐标系，原点O在过A点的竖直线与细杆相交处，x轴沿细杆向右，y轴沿OA向下．当珠子运动到N点处且绳子未断时，小环在B处，BN垂直于x轴，所以珠子的坐标为：

x=PN，y=BN

由△APN知：（AP）2+（PN）2=（AN）2

即有（h-y）2+x2=（l-y）2，得：x2=-2（l-h）y+（l2-h2）… ①

这是一个以y轴为对称轴，顶点位于y=处，焦点与顶点的距离为的抛物线，如图1所示，图中的H=，A为焦点．

（2）珠子在N点的运动方程

因为忽略绳子的质量，所以可把与珠子接触的那一小段绳子看做是珠子的一部分，则珠子受的力有三个，一是重力mg；另外两个是两绳子对珠子的拉力，它们分别沿NB和NA方向，这两个拉力大小相等，皆用T表示，则它们的合力的大小为：

F=2Tcosα… ②

α为N点两边绳子之间夹角的一半，F沿∠ANB的角平分线方向．

因为AN是焦点至N的连线，BN平行于y轴，根据解析几何所述的抛物线性质可知，N点的法线是∠ANB的角平分线．故合力F的方向与N点的法线一致．

由以上的论证．再根据牛顿定律和题中的注，珠子在N点的运动方程（沿法线方向）应为：

2Tcosα-mgcosα=m…③

2Tcosα=mgcosα+m…④

式中R是N点处轨道曲线的曲率半径；v为珠子在N处时速度的大小．根据机械能守恒定律可得：

v=… ⑤

（3）求曲率半径R

当绳子断裂时T=Td，由④式可见，如果我们能另想其他办法求得曲率半径R与y的关系，则就可能由（4）、⑤两式求得绳子断裂时珠子的纵坐标y．现提出如下一种办法．做一条与小珠轨迹对于x轴呈对称状态的抛物线，如图2所示．由此很容易想到这是一个从高H处平抛物体的轨迹．平抛运动是我们熟悉的，我们不仅知道其轨迹是抛物线，而且知道其受力情况及详细的运动学方程．这样我们可不必通过轨道方程而是运用力学原理分析其运动过程即可求出与N对称的N′点处抛物线的曲率半径R与y的关系，也就是N处抛物线的曲率半径R与y的关系．

设从抛出至落地的时间为t，则有：

…⑥

由此解得：

…⑦

设物体在N′处的速度为v′，由机械能守恒定律可得：

…⑧

物体在N′处法线方向的运动方程为：

…⑨

式中R即为N′处抛物线的曲率半径，从⑦⑧⑨式及H=，可求得：

R=

这也等于N点抛物线的曲率半径，BN=BN′=y，故得：

…⑩

（4）求绳被拉断时小珠的位置和速度的大小

把⑤式和⑩式代入④式，可求得绳子的张力为：

当T=Td时绳子被拉断，设此时珠子位置的坐标为（xd，yd），由式得：

代入（1）式，得：

绳子断开时珠子速度的大小为：

答：细绳被拉断时珠子的位置坐标为（，），速度的大小为．

解：由题意知小球B运动到圆周最高点时线恰好无作用力，可知，此时

小球从最低点运动到最高点时只有重力做功有：

可得碰撞后小球B的速度

小球A从竖直高度差h=0.1m处释放，则与小球B碰撞前A球的速度

可得

碰撞后小球A的速度

在碰撞过程中满足动量守恒有：

物体A的质量=

答：球A的质量应为0.4kg．