双曲线的标准方程和图象
共1421题

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双曲线的标准方程和图象
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题型：填空题

填空题

设F1，F2是双曲线-=1的两个焦点，离心率为，P是双曲线上一点，若∠F1PF2=90°，S△F1PF2=1，则双曲线的渐近线方程是______，该双曲线方程为______．

正确答案

不妨设点P在双曲线的右支上，

设双曲线的方程为 -=1，|PF1|=m，|PF2|=n则有

m-n=2a①

∠F1PF2=900由勾股定理得

m2+n2=4c2②

∵S△PF1F2=1

∴mn=1③

∵离心率为2

∴=④

解①②③④a=2，c=

∴b2=c2-a2=1

则双曲线的渐近线方程是 y=±x，该双曲线方程为 -y2=1．

故答案为：y=±x； -y2=1．

题型：填空题

填空题

以椭圆x2+=1的焦点为顶点、两顶点为焦点的双曲线标准方程是______．

正确答案

∵x2+=1的焦点为（0，±1），y轴上的两个顶点为(0，±)

∴双曲线中a= 1，c=

∴b2=c2-a2=1

∴双曲线的方程为y2-x2=1

故答案为y2-x2=1

题型：填空题

填空题

与双曲线-=1有共同渐近线，且过A(-3，4)的双曲线方程是______．

正确答案

由题意可设所求的双曲线方程为：-=λ（λ≠0）

双曲线过A(-3，4)，则可得-=λ即λ=-1

∴所求的双曲线的方程为：-=1

故答案为：-=1

题型：简答题

简答题

已知双曲线-=1的右焦点是F，右顶点是A，虚轴的上端点是B，且•=-1，∠BAF=120°．

（1）求双曲线C的方程；

（2）过点P（0，4）的直线l交双曲线C于M、N两点，交x轴于点Q（点Q与双曲线C的顶点不重合），当=λ1=λ2，且λ1+λ2=-时，求点Q的坐标．

正确答案

（Ⅰ）由条件知A（a，0），B（0，b）F（c，0）．

•=(-a，b)•(c-a，0)=a(a-c)=-1．①

cosBAF===-=cos120°=-．∴c=2a．②

解①，②得a=1，c=2．则b2=c2-a2=3．

故双曲线C的方程为x2-=1．

（Ⅱ）由题意知直线l的斜率k存在且不等于零，

设l的方程为：y=kx+4，M(x1，y1)，N(x2，y2)，则Q(-，0)．

∴=λ1．

∴(-•-4)=λ1(x1+，y1)．

∴⇒

∵M（x1，y1）在双曲线C上，

∴()2--1=0．

∴16+32λ1+16-k2-k2λ2=0．

∴(16-k2)+32λ1+16-k2=0．

同理(16-k2)+32λ2+16-k2-0．

若16-k2=0，则直线l过项点，不合题意，∴16-k2≠0

∴λ1，λ2是二次方程(16-k2)x2+32x+16-k2=0的两根

∴λ1+λ2==-．

∴k2=9，此时△＞0，∴k=±3．

∴所求Q点的坐标为(±，0)．

题型：简答题

简答题

已知双曲线C与椭圆+=1有相同的焦点，实半轴长为．

（1）求双曲线C的方程；

（2）若直线l：y=kx+与双曲线C有两个不同的交点A和B，且•＞2（其中O为原点），求k的取值范围．

正确答案

（1）设双曲线的方程为-=1(a＞0，b＞0)，

由题意知，a=，c=2，∴b2=c2-a2=1，解得b=1，

故双曲线方程为-y2=1．

（2）将y=kx+代入-y2=1，得(1-3k2)x2-6kx-9=0

由得k2≠，且k2＜1，x1+x2=，x1x2=，

设A（x1，y1），B（x2，y2），则由•＞2，

得x1x2+y1y2=x1x2+(kx1+)(kx2+)=(k2+1)x1x2+k(x1+x2)+2=(k2+1)+k+2＞2，得＜k2＜3．

又k2＜1，∴＜k2＜1，解得k∈(-1，-)∪(，1)，

所以k的取值范围为（-1，-）∪（，1）．

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