双曲线的标准方程和图象
共1421题

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双曲线的标准方程和图象
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题型：简答题

简答题

（理）设双曲线C：-=1（a＞0，b＞0）的离心率为e，若准线l与两条渐近线相交于P、Q两点，F为右焦点，△FPQ为等边三角形．

（1）求双曲线C的离心率e的值；

（2）若双曲线C被直线y=ax+b截得的弦长为求双曲线c的方程．

正确答案

（1）双曲线C的右准线l的方程为：x=，两条渐近线方程为：y=±x．

∴两交点坐标为　P(，)、Q(，-)．

设M为PQ与x轴的交点

∵△PFQ为等边三角形，则有|MF|=|PQ|（如图）．

∴c-=•(+)，即=．

解得　b=a，c=2a．

∴e==2．

（2）由（1）得双曲线C的方程为-=1．直线方程为y=ax+a

把y=ax+a代入得(a2-3)x2+2a2x+6a2=0．

依题意　

∴a2＜6，且a2≠3．

设P（x1，y1），Q（x2，y2），

∴x1+x2=，x1x2=

∴双曲线C被直线y=ax+b截得的弦长为l====

∵l==12a．

∴144a2=(1+a2)•．

整理得　13a4-77a2+102=0．

∴a2=2或a2=．

∴双曲线C的方程为：-=1或 -=1．

题型：填空题

填空题

已知点P（2，-3）是双曲线-=1(a＞0，b＞0)上一点，双曲线两个焦点间的距离等于4，则该双曲线方程是______．

正确答案

由题意知c=2．设该双曲线方程是-，

把点P（2，-3）代入，得-=1，

解得a2=1或a2=-16（舍）

∴该双曲线方程为x2-=1．

题型：简答题

简答题

已知双曲线-=1（a＞0，b＞0）的左焦点为F1（-，0），过右焦点F2作垂直于x轴的直线交双曲线于点P，且∠PF1F2=30°，求该双曲线的标准方程．

正确答案

由题意在Rt△PF1F2中∠PF2F1=90°，又∠PF1F2=30°，

则设PF2=m，得F1F2=m，PF1=2m，又F1F2=2，

则解得m=2，

所以2a=PF1-PF2=2，

所以b2=c2-a2=2，

则所求双曲线的标准方程为x2-=1．

题型：填空题

填空题

双曲线-=1（α为锐角）过定点（4，4），则α=______．

正确答案

由题意，将点(4，4)代入双曲线方程可得-=1

即-tanα=1

∴tan2α+tanα-2=0

∴tanα=1或tanα=-2

∵α为锐角

∴α=45°

故答案为45°

题型：简答题

简答题

已知点A（-，0）和B（，0），动点C到A、B两点的距离之差的绝对值为2．

求：

（1）点C的轨迹方程；

（2）设动点C的轨迹与直线y=x-2交于D、E两点，求线段DE的长．

正确答案

（1）∵点A（-，0）和B（，0），

动点C到A、B两点的距离之差的绝对值为2．

|AB|=2＞2，

∴C的轨迹方程是以A（-，0）和B（，0）为焦点的双曲线，

且a=1，c=，

∴C的轨迹方程是x2-=1．

（2）∵C的轨迹方程是x2-=1，

∴联立，得x2+4x-6=0，

设D（x1，y1）、E（x2，y2），则x1+x2=-4，x1x2=-6，

∴|DE|==4．

故线段DE的长为4．

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