双曲线的标准方程和图象
共1421题

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双曲线的标准方程和图象
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题型：简答题

简答题

求满足下列条件的双曲线方程

（1）两焦点分别为F1（-10，0），F2（10，0），点P（8，0）在双曲线上；

（2）已知双曲线过A(3，-4)，B(，5)两点．

正确答案

（1）设双曲线方程为-=1（a＞0，b＞0），

可得，

解得a2=64且b2=36，

∴所求双曲线的方程为-=1；

（2）设双曲线方程为mx2+ny2=1（mn＜0），

∵双曲线过A(3，-4)，B(，5)两点

∴，

解得，

因此，所求双曲线的方程为-x2+y2=1，化为标准方程得-=1．

题型：简答题

简答题

已知双曲线C：-=1（a＞0，b＞0）的离心率为，右准线方程为x=．

（Ⅰ）求双曲线C的方程；

（Ⅱ）已知直线x-y+m=0与双曲线C交于不同的两点A，B，且线段AB的中点在圆x2+y2=5上，求m的值．

正确答案

（Ⅰ）由题意，得，解得a=1，c=，

∴b2=c2-a2=2，

∴所求双曲线C的方程为x2-=1．

（Ⅱ）设A、B两点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），线段AB的中点为M（x0，y0），

由得x2-2mx-m2-2=0（判别式△＞0），

∴x0==m，y0=x0+m=2m，

∵点M（x0，y0）在圆x2+y2=5上，

∴m2+（2m）2=5，∴m=±1．

题型：简答题

简答题

（文）已知右焦点为F的双曲线-=1(a＞0，b＞0)的离心率e=，其右准线与经过第一象限的渐近线交于点P，且P的纵坐标为．

（Ⅰ）求双曲线的方程；

（Ⅱ）求直线PF被抛物线y2=8x截得的线段长．

正确答案

（I）由题意可知，双曲线-=1得右准线方程为x=（1分）

经过第一象限的双曲线的渐近线方程y=x（1分）

联立可得点P（，）（1分）

∵点P的纵坐标为y=

∴=

∵e==

∴a=，b=1（2分）

∴所求的双曲线的标准方程为-y2=1（1分）

（II）由（I）知P（，），双曲线的焦点的坐标F（2，0）

而F（2，0）也是抛物线y2=8x的焦点，设PF所在的直线方程为y=-(x-2)

与抛物线相交于A（x1，y1），B（x2，y2）（1分）

联立可得，3x2-20x+12=0（1分）

∴x1+x2=（1分）

∴AB=x1+x2=p=（1分）

∴直线PF被抛物线截得的线段长（1分）

题型：填空题

填空题

已知双曲线的中心在原点，对称轴为坐标轴，且经过点（2，）与（，0），则双曲线的焦点坐标为______．

正确答案

由题意知设双曲线的方程为-=1（a＞0，b＞0）且a2=2，

又过点（2，）得x2-y2=2，则双曲线的焦点坐标为（±2，0）．

题型：简答题

简答题

已知中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的离心率为

（1）求其渐近线方程；

（2）过双曲线上点P的直线分别交两条渐近线于P1、P2两点，且=2，S△OP1P2=9，求双曲线方程．

正确答案

（1）∵双曲线的离心率为，∴=，∴=2

∴双曲线的渐近线方程为y=±2x…（3分）

（2）设P1（x1，y1），P2（x2，y2），P（x，y）

∵=2，

∴x=，y=

即P(， )

由（1）可知，设所求双曲线方程为-=1

∵点P在双曲线，上∴8x1•x2=9a2①…（5分）

又∵S△OP1P2=9，∴|OP1|•|OP2|•sin∠P1OP2=9②

由①②得a2=4…（7分）

∴所求双曲线方程为-=1…（8分）

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