双曲线的标准方程和图象
共1421题

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双曲线的标准方程和图象
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题型：简答题

简答题

双曲线C的中心在原点，右焦点为F(， 0)，渐近线方程为y=±x．

（Ⅰ）求双曲线C的方程；

（Ⅱ）设直线l：y=kx+1与双曲线C交于A、B两点，问：当k为何值时，以AB为直径的圆过原点．

正确答案

（Ⅰ）设双曲线的方程是-=1(a＞0，b＞0)，则c=，=．

又∵c2=a2+b2，∴b2=1，a2=．

所以双曲线的方程是3x2-y2=1．

（Ⅱ）①由

得（3-k2）x2-2kx-2=0，

由△＞0，且3-k2≠0，得-＜k＜，且 k≠±．

设A（x1，y1）、B（x2，y2），因为以AB为直径的圆过原点，所以OA⊥OB，

所以 x1x2+y1y2=0．

又x1+x2=，x1x2=，

所以 y1y2=（kx1+1）（kx2+1）=k2x1x2+k（x1+x2）+1=1，

所以 +1=0，解得k=±1．

题型：简答题

简答题

双曲线-=1（a＞0，b＞0）满足如下条件：（1）ab=；（2）过右焦点F的直线l的斜率为，交y轴于点P，线段PF交双曲线于点Q，且|PQ|：|QF|=2：1，求双曲线的方程．

正确答案

设直线l：y=（x-c），令x=0，得P（0，-c），

设λ==2，Q（x，y），则有，

又Q（c，-c）在双曲线上，

∴b2（c）2-a2（-c）2=a2b2，

∵a2+b2=c2，∴(1+)-(+1)=1，

解得=3，又由ab=，可得，

∴所求双曲线方程为x2-=1．

题型：简答题

简答题

设A、B分别为双曲线-=1(a＞0，b＞0)的左右顶点，双曲线的实轴长为4，焦点到渐近线的距离为．

（1）求双曲线的方程；

（2）已知直线y=x-2与双曲线的右支交于M、N两点，且在双曲线的右支上存在点D，使+=t，求t的值及点D的坐标．

正确答案

（1）由实轴长为4，得a=2，

渐近线方程为y=x，即bx-2y=0，

∵焦点到渐近线的距离为，

∴=，又c2=b2+a2，∴b2=3，

∴双曲线方程为：-=1；

（2）设M（x1，y1），N（x2，y2），D（x0，y0），则x1+x2=tx0，y1+y2=ty0，

由⇒x2-16x+84=0⇒x1+x2=16，

∴y1+y2=(x1+x2)-4=12，

∴，解得，∴t=4，

∴D(4，3)，t=4．

题型：简答题

简答题

已知双曲线C的两条渐近线都过原点，且都以点A（，0）为圆心，1为半径的圆相切，双曲线的一个顶点A′与A点关于直线y=x对称．

（1）求双曲线C的方程；

（2）设直线l过点A，斜率为k，当0＜k＜1时，双曲线C的上支上有且仅有一点B到直线l的距离为，试求k的值及此时B点的坐标．

正确答案

（1）设双曲线的渐近线为y=kx，由d==1，解得k=±1

即渐近线为y=±x，又点A关于y=x对称点的坐标为（0，）

∴a==b，所求双曲线C的方程为x2-y2=2．

（2）设直线ly=k（x-）（0＜k＜1），

依题意B点在平行的直线l′上，且l与l′间的距离为

设直线l′y=kx+m，应有=，

化简得m2+2km=2②

把l′代入双曲线方程得（k2-1）x2+2mkx+m2-2=0，

由△=4m2k2-4（k2-1）（m2-2）=0

可得m2+2k2③

②、③两式相减得k=m，代入③得m2=，解得m=，k=，

此时x=-2，y=，故B（2，）．

题型：填空题

填空题

与双曲线-=1有共同渐近线，并且经过点（-3，4）的双曲线方程______．

正确答案

与双曲线-=1有共同渐近线的双曲线并且经过点（-3，4），则可设为-=λ．

把点（-3，4）代入上述方程得-=λ，解得λ=3．

所求的方程为-=1．

故答案为-=1．

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