双曲线的标准方程和图象
共1421题

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双曲线的标准方程和图象
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题型：填空题

填空题

过点（2，-2）且与-y2=1有公共渐近线方程的双曲线方程为 ______．

正确答案

依题意可在知双曲线的焦点在y轴，

设出双曲线的方程为-=1，

根据已知曲线方程可知其渐近线方程为y=±x

∴=，a=b

把点（2．-2）代入-=1中求得b=2，a=

∴双曲线的方程为：-=1

故答案为：-=1

题型：填空题

填空题

已知双曲线-=1(a＞0，b＞0)的离心率为，抛物线y2=8x的准线是双曲线的左准线，则双曲线的方程是______．

正确答案

∵双曲线-=1(a＞0，b＞0)的离心率为，

∴=即c=a

∵抛物线y2=8x的准线是双曲线的左准线，

∴-2=-则a=2，c=6

而c2=a2+b2=12+b2=36

∴b2=24

∴双曲线的方程是-=1

故答案为：-=1

题型：填空题

填空题

以方程±=0为渐近线的双曲线方程是______．

正确答案

+=0与-=0相乘得-=0

将0改成k（k不等于0的常数）即为所求的双曲线方程

即双曲线方程是-=k (k为不等于0的常数）

故答案为：-=k (k为不等于0的常数）

题型：简答题

简答题

双曲线-=1(a＞0，b＞0)的离心率e=2，F1，F2是左，右焦点，过F2作x轴的垂线与双曲线在第一象限交于P点，直线F1P与右准线交于Q点，已知•=-

（1）求双曲线的方程；

（2）设过F1的直线MN分别与左支，右支交于M、N，线段MN的垂线平分线l与x轴交于点G（x0，0），若1≤|NF2|＜3，求x0的取值范围．

正确答案

（1）∵e=2⇒c=2a，F1（-2a，0），F2（2a，0），P（2a，m）m=|PF2|=e•2a-a=3a∴P（2a，3a），

设Q(，t)∵F1，Q，F2三点共线∴t=∵•=-得a2=1

∴x2-=1

（2）设MN：y=k（x+2）代入3x2-y2=3得：（3-k2）x2-4k2x-4k2-3=0△＞0⇔k2+1＞0

设M（x1，y1），N（x2，y2）

∵x1+x2=∴l：y-=-(x-)

∵l过Q（x0，0）∴x0=∵|NF2|=2x1-1且|NF2|∈[1，3）

∴x1∈[1，2）⇒k2=

令f(x1)=∵f′(x1)=＞0

∴f（x1）在x1∈[1，2）上单调递增

得 k2∈[0，)∵x0=8(-1+)∴x0∈[0，)

题型：简答题

简答题

已知点A（5，0）和⊙B：（x+5）2+y2=36，P是⊙B上的动点，直线BP与线段AP的垂直平分线交于点Q．

（1）证明点Q的轨迹是双曲线，并求出轨迹方程．

（2）若(+)•=0，求点Q的坐标．

正确答案

（1）∵点Q在线段AP的垂直平分线上，

∴|QP|=|QA|，

∴||BQ|-|PQ||=||BQ|-|AQ||=6．

∴点Q的轨迹是以A、B为焦点的双曲线．（4′）

其轨迹方程是-=1．（7′）

（2）以A、B、Q为三个顶点作平行四边形ABQC，

则+=∵(+)•=0，

∴•=0，

∴平行四边形ABQC是菱形，

∴||=||．（8′）

∴点Q在圆（x+5）2+y2=100上．

解方程组．（10′）

得Q(-，±)或Q(，±)．（12′）

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