双曲线的标准方程和图象
共1421题

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双曲线的标准方程和图象
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题型：简答题

简答题

已知点A（2，8），B（x1，y1），C（x2，y2）在抛物线y2=2px上，△ABC的重心与此抛物线的焦点F重合（如图）

（I）写出该抛物线的方程和焦点F的坐标；

（II）求线段BC中点M的坐标

（III）求BC所在直线的方程．

正确答案

（I）由点A（2，8）在抛物线y2=2px上，有82=2p•2解得p=16

所以抛物线方程为y2=32x，焦点F的坐标为（8，0）

（II）如图，由F（8，0）是△ABC的重心，M是BC的中点，AM是BC上的中线，由重心的性质可得=2；

设点M的坐标为（x0，y0），则=8，=0解得x0=11，y0=-4所以点M的坐标为（11，-4）

（III）由于线段BC的中点M不在x轴上，所以BC所在的直线不垂直于x轴．

设BC所成直线的方程为y+4=k（x-11）（k≠0）

由消x得ky2-32y-32（11k+4）=0

所以y1+y2=由（II）的结论得=-4解得k=-4

因此BC所在直线的方程为y+4=-4（x-11）即4x+y-40=0．

题型：简答题

简答题

已知双曲线C的两条渐近线都过原点，且都与以点A(，0) 为圆心，1为半径的圆相切，双曲线的一个定点A1 与点A关于直线y=x对称，求双曲线C的标准方程______．

正确答案

设双曲线的渐近线为y=kx，即kx-y=0，

依题意知：=1，则k=±1，

所以渐近线为y=±x

∵A1 与点A关于直线y=x对称

∴A1 的坐标为(0，)

设所求双曲线的方程为x2-y2=λ（λ≠0）

代入A1 (0，)，得λ=-2

所以所求双曲线的方程为-=1．

题型：简答题

简答题

已知点M（-2，0），N（2，0），动点P满足条件|PM|-|PN|=2．记动点P的轨迹为W．

（Ⅰ）求W的方程；

（Ⅱ）若A，B是W上的不同两点，O是坐标原点，求•的最小值．

正确答案

（Ⅰ）依题意，点P的轨迹是以M，N为焦点的双曲线的右支，

所求方程为：-=1（x＞0）

（Ⅱ）当直线AB的斜率不存在时，设直线AB的方程为x=x0，

此时A（x0，），

B（x0，-），•=2

当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y=kx+b，

代入双曲线方程-=1中，得：

（1-k2）x2-2kbx-b2-2=01°

依题意可知方程1°有两个不相等的正数根，设A（x1，y1），B（x2，y2），

则，

解得|k|＞1又•=x1x2+y1y2=x1x2+（kx1+b）（kx2+b）

=（1+k2）x1x2+kb（x1+x2）+b2==2+＞2

综上可知•的最小值为2．

题型：简答题

简答题

求以过原点与圆x2+y2-4x+3=0相切的两直线为渐近线且过椭圆4x2+y2=4两焦点的双曲线方程．

正确答案

设双曲线方程为-=1

以过原点与圆x2+y2-4x+3=0相切的两直线

y=±x

∴=

∴b2=3a2整理椭圆方程得+x2=1

焦点（0，）（0，-）代入椭圆方程求得a=

∴b=3

∴双曲线方程-=1

故答案为-=1

题型：简答题

简答题

平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两定点A（1，0）、B（0，-1），动点P（x，y）满足：=m+(m-1)(m∈R)．

（1）求点P的轨迹方程；

（2）设点P的轨迹与双曲线C：-=1(a＞0，b＞0)交于相异两点M、N．若以MN为直径的圆经过原点，且双曲线C的离心率等于，求双曲线C的方程．

正确答案

（1）∵=m+(m-1)，

∴（x，y）=m（1，0）+（m-1）（0，-1）

∴，∴x+y=1即点P的轨迹方程为x+y-1=0

（2）由得：（b2-a2）x2+2a2x-a2-a2b2=0

∵点P轨迹与双曲线C交于相异两点M、N，∴b2-a2≠0，

且△=4a4-4（b2-a2）（-a2-a2b2）＞0（*）

设M（x1，y1），N（x2，y2），则x1+x2=-，x1x2=-

∵以MN为直径的圆经过原点，∴•=0，

即：x1x2+y1y2=0，∴x1x2+（1-x1）（1-x2）=0，即1+-=0

即b2-a2-2a2b2=0①，∵e=，∴e2==3，∴b2=2a2②．

∴由①、②解得a=，b=符合（*）式

∴双曲线C的方程为4x2-2y2=1．

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