热门试卷

（1）由双曲线的定义，点P的轨迹是以M、N为焦点，实轴长2a=2的双曲线．

因此半焦距c=2，实半轴a=1，从而虚半轴b=，

所以双曲线的方程为x2-=1

（2）设A（x1，y1），B（x2，y2）    

∵直线l方向向量为（-1，-1），

∴直线l的斜率k=1

故直线l的方程为：y=x-2      

联立直线l与曲线C的方程

可得：2x2+4x-7=0

∴x1+x2=-2，x1x2=-

于是|AB|=×=6

又O点到直线l的距离为：d==

∴S△AOB=d×|AB|=3

∵曲线C的离心率e=∈（0，1），

∴曲线C为椭圆，设其方程为：+=1，

∵曲线C经过点M（3，0），

∴a=3，

∴c=2，

∴b=1，

∴曲线C的标准方程为：+y2=1；

当曲线C的离心率e=时，曲线C为双曲线，设其方程为：-=1，

同理可求得a=3，c=3，b=3．

∴曲线C的标准方程为：-=1．

∴曲线C的离心率e分别取、时曲线C的标准方程分别为：+y2=1或-=1．

（1）由题意•=4且|x|＞|y|，

∴x2-y2=8   …（5分）

（2）设P（x1，y1），Q（x2，y2），易知直线倾斜角不为0，可设直线L方程为 x=ty+3

代入双曲线方程得：（t2-1）y2+6ty+1=0，△＞0

y1+y2=，y1y2=             （1）

又=2  则y1=-2y2               （2）

联立（1）（2）得：t=±

所以直线L方程为：x±y-=0                …（12分）

（1）依题意，由a2+b2=4，

得双曲线方程为-=1（0＜a2＜4），

将点（3，）代入上式，得-=1．

解得a2=18（舍去）或a2=2，

故所求双曲线方程为-=1．…（4分）

（2）设M（x，y），

∵点M满足=，

∴M为线段PQ的中点，

∵Q （0，2），

∴P（2x，2y-2），…（6分）

把点P（2x，2y-2）代入双曲线方程为-=1，

得动点M的轨迹方程：2x2-2（y-1）2=1．…．（8分）

（3）依题意，可设直线l的方程为y=kx+2，

代入双曲线C的方程并整理，

得（1-k2）x2-4kx-6=0．

∵直线l与双曲线C相交于不同的两点E、F，

∴，

∴k∈（-，-1）∪（1，）．…（10分）

设E（x1，y1），F（x2，y2），

则由①式得x1+x2=，x1x2=-，

于是|EF|=

=

=•

=•，

而原点O到直线l的距离d=，

∴S△OEF=d•|EF|

=•••

=．…（13分）

若S△OEF=2，

即=2，

∴k4-k2-2=0，

解得k=±，

满足②．故满足条件的直线l有两条，

其方程分别为y=x+2和y=-x+2．…（16分）