双曲线的标准方程和图象
共1421题

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双曲线的标准方程和图象
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题型：简答题

简答题

（1）求离心率为，且与双曲线-y2=1有公共焦点的椭圆的标准方程．

（2）求一条渐近线为2x+3y=0且焦点到渐近线的距离为2的双曲线的标准方程．

正确答案

（1）∵椭圆与双曲线-y2=1有公共焦点，且双曲线的焦点为（±，0），

∴设椭圆的方程为+=1(a＞b＞0)，满足a2-b2=5…①

又∵椭圆离心率为，∴=…②

联解①②，得，故所求椭圆的方程为+=1

（2）∵双曲线的一条渐近线方程为2x+3y=0，

∴设其标准方程为4x2-9y2=λ，

化成标准方程为-=1（λ＞0）或-=1（λ＜0）

∵双曲线焦点到渐近线的距离为2，可得b=2

∴当λ＞0时，=4可得λ=36，双曲线标准方程为-=1；

当λ＜0时，-=4可得λ=-16，双曲线标准方程为-=1

综上所述，双曲线的标准方程为-=1或-=1

题型：简答题

简答题

（1）求右焦点坐标是（2，0），且经过点( -2 ，- )的椭圆的标准方程；

（2）求与椭圆+=1有共同的焦点并且与双曲线-=1有共同渐近线的双曲线方程．

正确答案

（1）由题意，可设椭圆的标准方程为+=1，则

∵右焦点坐标是（2，0），经过点( -2 ，- )

∴c2=a2-b2=4，+=1，

解得a2=8，b2=4．

椭圆的标准方程为+=1； …（6分）

（2）椭圆+=1的焦点坐标为（0，±5），

双曲线-=1的渐近线方程为y=±x，

由题意可设双曲线的标准方程为-=1，

则c2=a2+b2=25，=，

解得a2=16，b2=9．双曲线的标准方程为-=1

题型：简答题

简答题

求下列双曲线的标准方程．

（1）与椭圆+=1共焦点，且过点(1，)的双曲线；

（2）与双曲线-=1有相同渐近线，且过点(2，1)的双曲线．

正确答案

（1）椭圆+=1焦点坐标为（0，3），在y轴上

∴所求双曲线的焦点坐标为（0，3），c=3

故设双曲线方程为-=1

∵点(1，)在双曲线上

∴-=1解得a2=5，

∴所求双曲线方程为-=1

（2）与双曲线-=1有相同渐近线的双曲线方程可设为-=λ

而点(2，1)在双曲线上则-=λ解得λ=

∴所求双曲线方程为-y2=1

题型：简答题

简答题

中心在原点，焦点在x轴上的一个椭圆与一双曲线有共同的焦点F1，F2，且|F1F2|=2，椭圆的长半轴与双曲线的实半轴之差为4，离心率之比为3：7．求这两条曲线的方程．

正确答案

设椭圆的方程为+=1，双曲线得方程为-=1，半焦距c=

由已知得：a1-a2=4，：=3：7，

解得：a1=7，a2=3；所以：b12=36，b22=4，

所以两条曲线的方程分别为：+=1，-=1

题型：简答题

简答题

当α∈（0，π）时，方程x2cosα+y2=1表示的曲线的形状怎样变化？

正确答案

由题意可得：

①当0＜α＜时，方程x2cosα+y2=1可以化简为：+y2=1．

并且有：0＜cosα＜1，则＞1，所以方程x2cosα+y2=1表示中心在原点，焦点在x轴上的椭圆；

②当α=时，cosα=0，方程为x2=1，得x=±1表示与y轴平行的两条直线；

③当＜α＜π时，方程x2cosα+y2=1可以化简为：+y2=1．

并且有：cosα＜0，方程x2cosα+y2=1表示焦点在y轴上的双曲线．

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