双曲线的标准方程和图象
共1421题

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双曲线的标准方程和图象
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题型：简答题

简答题

（1）设椭圆+=1（m＞0，n＞0）的右焦点与抛物线y2=8x的焦点相同，离心率为，求椭圆的标准方程．

（2）设双曲线与椭圆+=1有相同的焦点，且与椭圆相交，一个交点A的纵坐标为4，求此双曲线的标准方程．

正确答案

（1）∵抛物线y2=8x的焦点坐标为F（2，0）

∴椭圆+=1（m＞0，n＞0）的右焦点为F（2，0），可得m2-n2=4…①

∵椭圆的离心率e==，∴=…②

联解①②，得m2=16，n2=12

∴该椭圆的标准方程为+=1；

（2）∵椭圆+=1经过点A的纵坐标为4

∴设A（t，4），可得+=1，解之得t=±，A（±，4）

∵椭圆+=1的焦点为（0，±3），双曲线与椭圆+=1有相同的焦点，

∴双曲线的焦点为（0，±3），因此设双曲线方程为-=1（0＜k＜9）

将点A（±，4）代入，得-=1，解之得k=4（舍负）

∴双曲线方程为-=1

题型：简答题

简答题

（1）求长轴长为12，离心率为的椭圆标准方程；

（2）求实轴长为12，离心率为的双曲线标准方程．

正确答案

（1）由 2a=12，a=6

由 e== 知 c=4

又b2=a2-c2=36-16=20

故 +=1或+=1为所求

（2）由 2a=12，a=6

由e== 知c=9

又b2=c2-a2=81-36=45

故 -=1或-=1为所求．

题型：简答题

简答题

根据下列条件求椭圆或双曲线的标准方程．

（Ⅰ）已知椭圆的长轴长为6，一个焦点为（2，0），求该椭圆的标准方程．

（Ⅱ）已知双曲线过点P(，)，渐近线方程为x±2y=0，且焦点在x轴上，求该双曲线的标准方程．

正确答案

（I）设椭圆的方程为+=1（a＞b＞0），则

∵椭圆的长轴长为6，一个焦点为（2，0），

∴2a=6，c=2，可得a=3，b2==5

因此，椭圆的方程为+=1；

（II）∵双曲线渐近线方程为x±2y=0，

∴设双曲线方程为x2-4y2=λ（λ≠0）

∵点P(，)在双曲线上，∴(

)2-4×(

)2=λ，可得λ=4

因此，双曲线方程为x2-4y2=4，化成标准方程为-y2=1．

即所求双曲线方程为-y2=1．

题型：简答题

简答题

（文科）已知椭圆的方程为3x2+y2=18．

（1）求椭圆的焦点坐标及离心率；

（2）求以椭圆的焦点为顶点、顶点为焦点的双曲线方程．

正确答案

（1）∵椭圆3x2+y2=18即+=1，

∴a=3，b=

由 c2=a2-b2，得c=2，

∴离心率：e===，

焦点坐标：F1（0，-2），F2（0，2）

（2）椭圆在y轴上的顶点坐标：（0，3），（0，-3），

焦点坐标：（0，-2），（0，2）

∴双曲线的焦点坐标是：（0，3），（0，-3），

顶点为（0，-2），（0，2）

双曲线的半实轴长为：2，半虚轴长为：=．

∴双曲线方程为-=1．

题型：简答题

简答题

（1）已知椭圆中心在原点，焦点在x轴，长轴长为短轴长的3倍，且过点P（3，2），求此椭圆的方程；

（2）求与双曲线-=1有公共渐近线，且焦距为8的双曲线的方程．

正确答案

（1）设椭圆的标准方程为+=1（b＞0）

∵椭圆过点P（3，2），∴+=1

∴b2=5

∴椭圆的方程为+=1； …（8分）

（2）设双曲线的方程为-=λ，即-=1

∵双曲线的焦距为8

∴5λ+3λ=±16

∴λ=±2

∴双曲线的方程为-=±1． …（16分）

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